[小学奥数][组合计数]传球问题

Posted 2020-10-31 人脑之战

题目原型

有\(m(m\geqslant 3)\)人相互传球，\(n(n\geqslant 3)\)次后球又传回发球人手中，求传球方法\(S(m,n)\)和概率\(P(m,n)\)？

解题方法

首先球传\(n\)次，一共有\((m-1)^n\)种传球方法。
求传球方法的种类数量：

1. 枚举法
   当\(m+n \geqslant 8\)时，可以尝试用枚举法。
   如\(m=3,n=5\)时，将三人分别记为\(A,B,C\)，发球人不妨设为\(A\)：
   
   总共有10中传球方法。
2. 公式法
   \(S(m,n)=\frac{(m-1)^n+(-1)^n(m-1)}{m}\)
   证明（数学归纳法）：不妨设\(a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a_m\)共\(m\)人在传球，为发球人\(a_1\)。
   有：
   球传1次 一共有：\((m-1)^1\)种、到\(a_1\)有：\(S(m,1)=0\)种；
   球传2次 一共有：\((m-1)^2\)种、到\(a_1\)有：\(S(m,2)=(m-1)^1\)种；
   球传3次 一共有：\((m-1)^3\)种、到\(a_1\)有：\(S(m,3)=(m-1)^2-(m-1)\)种；（第2次传给\(a_1\)时第3次不可能再传给\(a_1\)）
   球传4次 一共有：\((m-1)^4\)种、到\(a_1\)有：\(S(m,4)=(m-1)^3-[(m-1)^2-(m-1)]\)种；（第3次传给\(a_1\)时第4次不可能再传给\(a_1\)）
   \(\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot\)
   若：
   球传\(n-1\)次 一共有：\((m-1)^{n-1}\)种、到\(a_1\)的种类数为：\[S(m,n-1)=\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{(n-1)+1-i}(m-1)^{i}\]
   那么：
   球传\(n\)次 一共有：\((m-1)^{n}\)种、到\(a_1\)的种类数为：\[S(m,n)=(m-1)^{n-1}-\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{n-i}(m-1)^{i}\] \[=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{n+1-i}(m-1)^{i}\] \[=\frac{(m-1)^n+(-1)^n(m-1)}{m}\]
   （第\(n-1\)次传给\(a_1\)时第\(n\)次不可能再传给\(a_1\)，等比数列求和）
   得证。
3. 递推法
   讨论球传\(n-1\)次，一共有\((m-1)^{n-1}\)种传法
   其中到\(a_1\)的种类数为\[S(m,n-1)=\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{(n-1)+1-i}(m-1)^{i}\]
   那么不传给\(a_1\)就有\((m-1)^{n-1}-\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{n-i}(m-1)^{i}=\frac{(m-1)^n+(-1)^n(m-1)}{m}\)种；这也就是球传\(n\)次，传到\(a_1\)的种类数\(S(m,n)\)。
   于是\[S(m,n-1)+S(m,n)=(m-1)^{n-1}\]
   概率为：
   \[P(m,n)=\frac{(m-1)^n+(-1)^n(m-1)}{m(m-1)^n}\]