Bzoj4558:分类讨论 计算几何 组合数学

Posted 2020-10-31 Cmd2001

爆肝啦(下意识看发帖时间)

国际惯例的题面:

这题让我爆肝啦......
这种计数显然容斥，正好不含任何坏点的我们不会算，但是我们能算至少含零个坏点的，至少含一个坏点的，至少含两个坏点的......
所以最终的答案就是(至少含零个坏点的-至少含一个坏点的+至少含两个坏点的-至少含三个坏点的+至少含四个坏点的)。
然后就是怎么计算的问题。
对于至少含零个坏点的，我们不妨设定所有点都是好点。
对于非正放的正方形，我们能找到一个正好包含它的最小的正放的正方形，显然这样的正方形是唯一的。

然后我们让四个点在这个正方形的边上滑动，显然这四个点的每一组位置对应一个非正放的正方形(虽然正好在四个角上的是正放的)。
于是我们可以得出总方案数为sigma( i from 1 to min(n,m) ) i * ( n - i + 1 ) * ( m - i + 1 ) 。
这个东西可以O(n)计算。

对于正好有一个坏点的，我们考虑某个以某个个点P为角的正方形A，点P一定包含这个正方形A的最小正放正方形的角上或边上。

于是我们枚举这样的正方形和点P能在的位置数量就好了。
对于点P的状态，我们计算出它距离左边界的距离l，右边界距离r，上边界距离h。

然后我们令t=min(l+r,h)。
如果我们不考虑有一些位置不能取到的话，答案应该为t*(t+3)/2。
然而这样计算了一些不能取到的位置。当t>l时，我们多计算的位置数量为(t-l)*(t-l+1)/2。(手玩一下就明白了)
t>r时同理。这样我们就能O(k)计算出至少含一个坏点的方案数。

对于正好含两及以上个坏点的，我们枚举两个坏点，显然一个正方形给你两个点，他的位置就基本确定了。

我们可以分类讨论三种情况，用向量计算出另外两个点应该在的位置。注意某些情况下以这两个点为对角线的正方形可能不在格点上。
然后对于含两个的，我们直接计算可行的正方形数；对于含三个的，我们当另外两个点有一个为坏点时计算；含四个的，我们当另外两个点均为坏点时计算。
显然含三个和含四个的我们算重了。所以应该分别除以C(3,2)和C(4,2)。

然后累加一下答案就好。
(然而计算垂直向量时没有加负号让我调了半天，老年选手身败名裂)
代码:

  1 #include<cstdio>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<tr1/unordered_set>
  4 using namespace std;
  5 using namespace tr1;
  6 typedef long long int lli;
  7 using namespace std;
  8 using namespace tr1;
  9 const int maxp=2e3+1e2;
 10 const int mod=1e8+7;
 11 
 12 struct Point {
 13     int x,y;
 14     friend bool operator < (const Point &a,const Point &b) {
 15         return a.x != b.x ? a.x < b.x : a.y < b.y;
 16     }
 17     friend Point operator - (const Point &a,const Point &b) {
 18         return (Point){a.x-b.x,a.y-b.y};
 19     }
 20     friend Point operator + (const Point &a,const Point &b) {
 21         return (Point){a.x+b.x,a.y+b.y};
 22     }
 23     friend Point operator * (const Point &a,const int &b) {
 24         return (Point){a.x*b,a.y*b};
 25     }
 26     friend Point operator / (const Point &a,const int &b) {
 27         return (Point){a.x/b,a.y/b};
 28     }
 29     inline Point swp() const {
 30         return (Point){y,-x};
 31     }
 32     inline bool candiv() const {
 33         return ( ! ( x & 1 ) ) && ( ! ( y & 1 ) );
 34     }
 35 }pt[maxp];
 36 unordered_set<lli> st;
 37 int n,m,t;
 38 lli ans,ini,sig,dou,tri,qua;
 39 
 40 inline void insert(const Point &p) {
 41     lli h = (lli) p.x * ( m + 1 ) + p.y;
 42     st.insert(h);
 43 }
 44 inline bool inside(const Point &p) {
 45     return 0 <= p.x && p.x <= n && 0 <= p.y && p.y <= m;
 46 }
 47 inline bool legal(const Point &pa,const Point &pb) {
 48     return inside(pa) && inside(pb);
 49 }
 50 inline bool have(const Point &p) {
 51     lli h = (lli) p.x * ( m + 1 ) + p.y;
 52     return st.find(h) != st.end();
 53 }
 54 inline lli calcini(lli n,lli m) {
 55     lli ret = 0 , lim = min( n , m );
 56     for(lli i=1;i<=lim;i++) ret = ( ret + ( n - i + 1 ) % mod * ( m - i + 1 ) % mod * i % mod ) % mod;
 57     return ret;
 58 }
 59 inline lli calcedge(const lli &l,const lli &r,const lli &h) {
 60     lli t = min( l + r , h );
 61     if( !t ) return 0;
 62     lli ret = ( t * ( t + 3 ) >> 1 ) % mod;
 63     if( t > l ) ret -= ( ( t - l ) * ( t - l + 1 ) >> 1 ) % mod;
 64     if( t > r ) ret -= ( ( t - r ) * ( t - r + 1 ) >> 1 ) % mod;
 65     return ( ret % mod + mod ) % mod;
 66 }
 67 inline lli calcsingle(lli x,lli y) {
 68     const lli a = n - x , b = m - y , c = x , d = y;
 69     lli ret = ( calcedge(d,b,a) + calcedge(d,b,c) + calcedge(a,c,b) + calcedge(a,c,d) ) % mod;
 70     ret -= ( min(a,b) + min(b,c) + min(c,d) + min(d,a) ) % mod;
 71     return ( ret % mod + mod ) % mod;
 72 }
 73 inline lli calcdouble(const Point &a,const Point &b) {
 74     const Point delta = (a-b).swp();
 75     int ret = legal(a+delta,b+delta) + legal(a-delta,b-delta);
 76     const Point mid = a + b , pa = mid + delta , pb = mid - delta;
 77     if( pa.candiv() && pb.candiv() && legal(pa/2,pb/2) ) ++ret;
 78     return ret;
 79 }
 80 inline lli calctriple(const Point &a,const Point &b) {
 81     const Point delta = (a-b).swp();
 82     int ret = 0;
 83     if( legal(a+delta,b+delta) ) ret += have(a+delta) + have(b+delta);
 84     if( legal(a-delta,b-delta) ) ret += have(a-delta) + have(b-delta);
 85     const Point mid = a + b , pa = mid + delta , pb = mid - delta;
 86     if( pa.candiv() && pb.candiv() && legal(pa/2,pb/2) ) ret += have(pa/2) + have(pb/2);
 87     return ret;
 88 }
 89 inline lli calcquad(const Point &a,const Point &b) {
 90     const Point delta = (a-b).swp();
 91     int ret = 0;
 92     if( legal(a+delta,b+delta) ) ret += ( have(a+delta) && have(b+delta) );
 93     if( legal(a-delta,b-delta) ) ret += ( have(a-delta) && have(b-delta) );
 94     const Point mid = a + b , pa = mid + delta , pb = mid - delta;
 95     if( pa.candiv() && pb.candiv() && legal(pa/2,pb/2) ) ret += ( have(pa/2) && have(pb/2) );
 96     return ret;
 97 }
 98 
 99 int main() {
100     scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
101     for(int i=1;i<=t;i++) scanf("%d%d",&pt[i].x,&pt[i].y) , insert(pt[i]);
102     ini = calcini(n,m);
103     for(int i=1;i<=t;i++) sig += calcsingle(pt[i].x,pt[i].y);
104     for(int i=1;i<=t;i++) for(int j=i+1;j<=t;j++) {
105         dou += calcdouble(pt[i],pt[j]) , tri += calctriple(pt[i],pt[j]) , qua += calcquad(pt[i],pt[j]);
106     }
107     tri /= 3 , qua /= 6;
108     ans = ( ( ini - sig + dou - tri + qua ) % mod + mod ) % mod;
109     printf("%lld\\n",ans);
110     return 0;
111 }

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