bzoj4558: [JLoi2016]方

Posted 2020-09-06 ccz181078

Description

上帝说，不要圆，要方，于是便有了这道题。由于我们应该方，而且最好能够尽量方，所以上帝派我们来找正方形

上帝把我们派到了一个有N行M列的方格图上，图上一共有(N+1)×(M+1)个格点，我们需要做的就是找出这些格点形

成了多少个正方形（换句话说，正方形的四个顶点都是格点）。但是这个问题对于我们来说太难了，因为点数太多

了，所以上帝删掉了这(N+1)×(M+1)中的K个点。既然点变少了，问题也就变简单了，那么这个时候这些格点组成

了多少个正方形呢？

Input

第一行三个整数 N, M, K， 代表棋盘的行数、 列数和不能选取的顶点个数。 保证 N, M >= 1， K <=(N + 1) ×

(M + 1)。约定每行的格点从上到下依次用整数 0 到 N 编号，每列的格点依次用 0到 M 编号。接下来 K 行，每

行两个整数 x,y 代表第 x 行第 y 列的格点被删掉了。保证 0 <=x <=N<=10^6, 0 <=y<=M<=10^6，K<=2*1000且不

会出现重复的格点。

Output

 仅一行一个正整数， 代表正方形个数对 100000007（ 10^8 + 7） 取模之后的值

容斥，不考虑删点的方案数可以O(min(n,m))枚举正方形在水平方向投影的长度算出

恰好删去2~4点的方案数可以O(k²)枚举其中的两个点，再看正方形另外两点是否也被删去

还有过定点的正方形数，可以列出8条不等式，求半平面交，然后因为一些特殊的性质，用pick定理可以算出半平面交内整点数（似乎有比这简洁的多的方法）

然后加加减减就得到答案了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
int s[107][107];
int n,m,k;
typedef long long i64;
const int P=1e8+7;
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
struct pos{int x,y;}ps[17];
struct hp{int a,b,c;}hs[17],ls[17];
pos operator&(hp u,hp v){
    int r=u.a*v.b-u.b*v.a;
    if((u.c*v.b-u.b*v.c)%r||(u.a*v.c-u.c*v.a)%r)putchar(‘*‘);
    return (pos){(u.c*v.b-u.b*v.c)/r,(u.a*v.c-u.c*v.a)/r};
}
bool operator==(pos a,pos b){return a.x==b.x&&a.y==b.y;}
i64 operator*(pos a,pos b){return i64(a.x)*b.y-i64(a.y)*b.x;}
pos operator-(pos a,pos b){return (pos){a.x-b.x,a.y-b.y};}
pos operator+(pos a,pos b){return (pos){a.x+b.x,a.y+b.y};}
bool in(pos a,hp b){return a.x*b.a+a.y*b.b<=b.c;}
bool chk(hp a,hp b,hp c){return !in(a&b,c);}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int abs(int x){return x>0?x:-x;}
int count(pos w){return gcd(abs(w.x),abs(w.y));}
i64 cal(int x,int y){
    int L=-x,R=n-x,U=-y,D=m-y;
    int p=0;
    #define _(a,b,c) hs[p++]=(hp){a,b,c}
    _(0,1,min(D,-L));
    _(1,1,D);
    _(1,0,min(R,D));
    _(1,-1,R);
    _(0,-1,-max(U,-R));
    _(-1,-1,-U);
    _(-1,0,-max(L,U));
    _(-1,1,-L);
    hs[p]=hs[0];
    int l=0,r=0;
    for(int i=0;i<p;++i){
        while(r-l>=2&&chk(ls[r-2],ls[r-1],hs[i]))--r;
        while(r-l>=2&&chk(ls[l+1],ls[l],hs[i]))++l;
        ls[r++]=hs[i];
    }
    while(r-l>=2&&chk(ls[r-2],ls[r-1],ls[l]))--r;
    ls[r]=ls[l];
    for(int i=l;i<r;++i)ps[i]=ls[i+1]&ls[i];
    r=std::unique(ps+l,ps+r)-ps-l;
    ps[r]=ps[l];
    if(r-l==2)return count(ps[l+1]-ps[l]);
    i64 ans=0;
    for(int i=l;i<r;++i){
        ans+=count(ps[i+1]-ps[i]);
        ans+=ps[i+1]*ps[i];
    }
    return ans/2;
}
pos xs[2007],ht[12347];
bool hd[12347];
void ins(pos x){
    int w=(x.x*293+x.y*149)%12347;
    while(hd[w])w=(w+3555)%12347;
    hd[w]=1;ht[w]=x;
}
bool operator<(pos a,pos b){return a.x!=b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;}
i64 d0,d1,d2,d3,d4;
bool exist(pos x){
    int w=(x.x*293+x.y*149)%12347;
    while(hd[w]){
        if(ht[w]==x)return 1;
        w=(w+3555)%12347;
    }
    return 0;
}
bool in(pos a){return a.x>=0&&a.x<=n&&a.y>=0&&a.y<=m;}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=0;i<k;++i)scanf("%d%d",&xs[i].x,&xs[i].y),ins(xs[i]);
    int s=min(n,m);
    for(int i=1;i<=s;++i)d0=(d0+i*i64(n+1-i)*(m+1-i))%P;
    for(int i=0;i<k;++i){
        d1=(d1+cal(xs[i].x,xs[i].y))%P;
        for(int j=i+1;j<k;++j){
            pos d=xs[j]-xs[i];
            if(~d.x+d.y&1){
                pos a=(pos){d.x+d.y>>1,-d.x+d.y>>1};
                pos p1=xs[i]+a,p2=xs[j]-a;
                if(in(p1)&&in(p2)){
                    int e1=exist(p1);
                    int e2=exist(p2);
                    d4+=e1&e2;
                    d3+=e1^e2;
                    d2+=~(e1|e2)&1;
                }
            }
            d=(pos){d.y,-d.x};
            pos p1=xs[i]+d,p2=xs[i]-d,p3=xs[j]+d,p4=xs[j]-d;
            if(in(p1)&&in(p3)){
                int e1=exist(p1);
                int e3=exist(p3);
                d4+=(e1&e3);
                d3+=(e1^e3);
                d2+=(~(e1|e3)&1);
            }
            if(in(p2)&&in(p4)){
                int e2=exist(p2);
                int e4=exist(p4);
                d4+=(e2&e4);
                d3+=(e2^e4);
                d2+=(~(e2|e4)&1);
            }
        }
    }
    d4/=6;d3/=3;
    d1-=d2+d3*2+d4*3;
    d0-=d1;
    printf("%lld",(d0+P)%P);
    return 0;
}