BZOJ4558: [JLoi2016]方

Posted 2020-10-12 Blue233333

n<=1e6 * m<=1e6的坐标系下求顶点不是指定的K<=2e3个点的正方形个数，%1e8+7.

一个基本的思路就是容斥，总-一个点+两个点-三个点+四个点。

总：把一个斜斜的正方形看成一个外接的正正的正方形，所以一个边长为d的正方形，顶点在他边上的正方形有d个，而边长为d的正方形在整个图上有(n-d+1)*(m-d+1)个，因此答案就是sigma d*(n-d+1)*(m-d+1)。

一个点：枚举点，先算经过他的正正的正方形：

就是min(u,r)+min(d,r)+min(l,d)+min(u,d)。再算他为顶点的斜斜的。可以把这些斜斜的看成朝左，朝右，朝上，朝下的，由于计算方法一样只说朝上：

先假设u非常非常大，且l>r，观察答案随该斜斜正方形的外接正正正方形的大小的变化。

外接正正正方形大小1：0个

外接正正正方形大小2：1个

外接正正正方形大小3：2个

……

外接正正正方形大小r：r-1个

外接正正正方形大小r+1：r-1个

外接正正正方形大小r+2：r-1个

……

外接正正正方形大小l：r-1个

外接正正正方形大小l+1：r-1个

外接正正正方形大小l+2：r-2个

……

外接正正正方形大小l+r：1个

然后就没有了

实际上是一个上升、平、下降的数列，根据u的大小带不同的公式即可

两个点、三个点、四个点的情况其实只用枚举两个点就行了，因为两个点确定了一个正方形。

枚举两个点，这两个点连线可能做边长，可能做对角线，用全等三角形+解方程算出另外两个点的表达式，就可以判断这是两个点三个点还是四个点的情况了。

小技巧：枚举两个点时，由于三点情况的贡献是-1，会枚举到三次，所以每次算-1/3，加上他本身是两个点的情况，就-1/3+1=2/3，最后取整即可。四个点同理。

判断另外两个点是不是K个点中的点，哈希即可。

  1 #include<cstring>
  2 #include<cstdlib>
  3 #include<cstdio>
  4 //#include<assert.h>
  5 //#include<time.h>
  6 #include<math.h>
  7 //#include<queue>
  8 #include<algorithm>
  9 //#include<iostream>
 10 using namespace std;
 11 
 12 bool isdigit(char c) {return c>=\'0\' && c<=\'9\';}
 13 int qread()
 14 {
 15     char c;int s=0,f=1;while (!isdigit(c=getchar())) f=(c==\'-\'?-1:1);
 16     do s=s*10+c-\'0\'; while (isdigit(c=getchar())); return s*f;
 17 }
 18 
 19 int n,m,K;
 20 const int mod=1e8+7;
 21 int calc(int l,int r,int h)
 22 {
 23     h--;int x=min(l,r),y=max(l,r);
 24     if (h<=x) return 1ll*(h+1)*h/2%mod;
 25     if (h<=y) return (1ll*(x+1)*x/2%mod+1ll*(h-x)*x%mod)%mod;
 26     if (h<x+y) return (1ll*(x+1)*x/2%mod+1ll*(y-x)*x%mod+1ll*(x-1+x-h+y)*(h-y)/2%mod)%mod;
 27     return (1ll*(x+1)*x%mod+1ll*(y-x-1)*x%mod)%mod;
 28 }
 29 #define maxn 2011
 30 int x[maxn],y[maxn];
 31 #define maxh 10007
 32 struct Hash
 33 {
 34     struct Node{int x,y,next;}list[maxh];int first[maxh],len;
 35     Hash() {memset(first,0,sizeof(first));len=2;}
 36     int hash(int x,int y)
 37     {
 38         return (1ll*x*19260817%maxh+1ll*y*19890604%maxh)%maxh;
 39     }
 40     void insert(int x,int y)
 41     {
 42         int v=hash(x,y);
 43         list[len].x=x;list[len].y=y;
 44         list[len].next=first[v];first[v]=len++;
 45     }
 46     int find(int x,int y)
 47     {
 48         if (x<0 || x>n || y<0 || y>m) return -2333;
 49         int v=hash(x,y);
 50         for (int i=first[v];i;i=list[i].next)
 51         {
 52             const Node &e=list[i];
 53             if (e.x==x && e.y==y) return 1;
 54         }
 55         return 0;
 56     }
 57 }h;
 58 int main()
 59 {
 60     n=qread(),m=qread(),K=qread();
 61     int ans=0;
 62     for (int i=1,to=min(n,m);i<=to;i++)
 63         ans+=(1ll*i*(n-i+1)*(m-i+1)%mod),ans-=ans>=mod?mod:0;
 64 //    cout<<ans<<endl;
 65     for (int i=1;i<=K;i++)
 66     {
 67         x[i]=qread(),y[i]=qread();
 68         int u=m-y[i],d=y[i],l=x[i],r=n-x[i];
 69         ans-=min(u,l)+min(u,r)+min(d,l)+min(d,r),ans%=mod;
 70 //    cout<<ans<<endl;
 71         ans-=calc(l,r,u),ans%=mod;
 72         ans-=calc(l,r,d),ans%=mod;
 73         ans-=calc(u,d,l),ans%=mod;
 74         ans-=calc(u,d,r),ans%=mod;
 75 //    cout<<ans<<endl;
 76         ans=(ans+mod)%mod;
 77         h.insert(x[i],y[i]);
 78     }
 79 //    cout<<ans<<endl;
 80     double dou=0;
 81     for (int i=2;i<=K;i++)
 82         for (int j=1;j<i;j++)
 83         {
 84 //            计算两个点的直的正方形和弯的正方形
 85             int cnt;double tmp=0;
 86             if ((cnt=h.find(x[i]-y[j]+y[i],y[i]+x[j]-x[i])+h.find(x[j]-y[j]+y[i],y[j]+x[j]-x[i]))==0)
 87                 tmp+=1;
 88             else if (cnt==1) tmp+=2.0/3.0;
 89             else if (cnt==2) tmp+=0.5;else{}
 90             if ((cnt=h.find(x[i]+y[j]-y[i],y[i]-x[j]+x[i])+h.find(x[j]+y[j]-y[i],y[j]-x[j]+x[i]))==0)
 91                 tmp+=1;
 92             else if (cnt==1) tmp+=2.0/3.0;
 93             else if (cnt==2) tmp+=0.5;else{}
 94             if (!((y[i]-y[j]+x[i]+x[j])&1) && !((x[j]-x[i]+y[i]+y[j])&1)
 95             && !((x[i]+x[j]+y[j]-y[i])&1) && !((y[i]+y[j]+x[i]-x[j])&1))
 96             if ((cnt=h.find((y[i]-y[j]+x[i]+x[j])/2,(x[j]-x[i]+y[i]+y[j])/2)+
 97             h.find((x[i]+x[j]+y[j]-y[i])/2,(y[i]+y[j]+x[i]-x[j])/2))==0)
 98                 tmp+=1;
 99             else if (cnt==1) tmp+=2.0/3.0;
100             else if (cnt==2) tmp+=0.5;else{}else{}
101             dou+=tmp;
102         }
103     printf("%lld\\n",((ans+((long long)floor(dou+1e-9))%mod)+mod)%mod);
104     return 0;
105 }

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