BZOJ4827 [Hnoi2017]礼物 多项式 FFT
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题目传送门 - BZOJ4827
题意
有两个长为$n$的序列$x$和$y$,序列$x,y$的第$i$项分别是$x_i,y_i$。
选择一个序列$A$,现在你可以对它进行如下两种操作:
$1.$ 得到一个和$A$循环同构的序列$A\'$。
$2.$ 给所有的$A\'_i$都加上$c(c\\in N^+)$,得到序列$A\'\'$。
你进行上面两个操作之后,得到的序列分别为$x\'\',y\'\'$(注意$x,y$两个序列中至少有一个序列没有发生任何变化)
序列$x\'\'$和$y\'\'$的差异值为
$$\\sum_{i=1}^{n}(x\'\'_i-y\'\'_i)^2$$
问差异值最小为多少。
题解
我们可以选择任何一个序列进行那两个操作就是相当于对$x$进行操作$1$和下面这个操作:
$2\'.$ 给所有的$x\'_i$都加上$c(c\\in Z)$,得到序列$x\'\'$。
于是:
$$\\sum_{i=1}^{n}(x\'\'_i-y_i)^2$$
$$=\\sum_{i=1}^{n}(x\'_i-y_i+c)^2$$
(假装后面的没有\'的就当有吧,公式不知道为啥烂掉了)
$$=\\sum_{i=1}^{n}x_i^2+y_i^2+c^2-2x_iy_i+2(x_i-y_i)c$$
$$=\\sum_{i=1}^{n}x_i^2+y_i^2+c^2+(\\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i))c-2x_iy_i$$
发现这是个关于$c$的二次函数再加上一坨$-2x\'_iy_i$。
对于$c$只需要运用一下初中的数学知识即可。
具体地:
设$t=\\sum_{i=1}^{n}x_i-y_i$.
则与$c$有关的式子是$nc^2+2tc$。
这个时候其实$-100$到$100$暴搜应该也可以的。
然后我们运用初中的数学配个方就可以快速算出$c$的取值,但是注意$c$为整数,所以我们就去周围几个数判几下就可以了。
对于后面的那个,只需要倍长$y$,翻转$x$,然后套路$FFT$即可。
具体地:
为了方便,下面把$x_i$和$y_i$下标看做从$0$开始。
首先化环为链,我们把$y$倍长。
然后构造多项式:
$$h_i=\\sum_{j=0}^{n-1}x_jy_{i+j-1}$$
看起来可以用$FFT$来优化。
我们只需要翻转$x$数组,得到:
$$h_i=\\sum_{j=0}^{n-1}x_{n-j-1}y_{i+j-1}$$
让$h_i$整体右移$n-1$位,再重新整理上式得:
$$h_i=\\sum_{j=0}^{i}x_jy_{i-j}$$
显然这个可以$FFT$。
其中只有$h_{n-1}\\dots h_{2n-2}$是有用的。
求出来之后,只要求下有效$h_i$的最大值$max$即可。然后让答案减掉$-2max$
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N=1<<18; double PI=acos(-1.0); int n,m,c,x[N],y[N],t=0; int s,L,R[N]; LL ans=0,xymax=0; struct C{ double r,i; C(){} C(double a,double b){r=a,i=b;} C operator + (C x){return C(r+x.r,i+x.i);} C operator - (C x){return C(r-x.r,i-x.i);} C operator * (C x){return C(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);} }w[N],A[N],B[N]; LL calc(LL c){ return c*c*n+c*t*2; } LL getc_val(int t,int n){ LL c1=-t/n,c2=c1+1,c3=c1-1; return min(min(calc(c1),calc(c2)),calc(c3)); } void FFT(C a[],int n){ for (int i=0;i<n;i++) if (i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]); for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1) for (int i=0;i<n;i+=(d<<1)) for (int j=0;j<d;j++){ C tmp=w[t*j]*a[i+j+d]; a[i+j+d]=a[i+j]-tmp; a[i+j]=a[i+j]+tmp; } } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for (int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&x[i]); for (int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&y[i]),t+=x[i]-y[i],ans+=x[i]*x[i]+y[i]*y[i]; ans+=getc_val(t,n); for (s=1,L=0;s<n*3;s<<=1,L++); for (int i=0;i<s;i++){ R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)); w[i]=C(cos(2*i*PI/s),sin(2*i*PI/s)); A[i]=B[i]=C(0,0); } for (int i=0;i<n;i++) A[i]=C(x[n-i-1],0),B[i]=B[i+n]=C(y[i],0); FFT(A,s),FFT(B,s); for (int i=0;i<s;i++) A[i]=A[i]*B[i],w[i].i*=-1.0; FFT(A,s); for (int i=n-1;i<2*n;i++) xymax=max(xymax,(LL)(A[i].r/s+0.5)); ans-=xymax*2; printf("%lld",ans); return 0; }
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