BZOJ4827: [Hnoi2017]礼物

Posted 2020-10-06 QYP_2002

4827: [Hnoi2017]礼物

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Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一

个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突

然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有

装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，

但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差

异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，

其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物

亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： $\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2$麻烦你帮他

计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。

接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。

1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

Sample Input

5 6
1 2 3 4 5
6 3 3 4 5

Sample Output

1
【样例解释】
需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第
二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为
：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

 

思路{

　　啊啊啊,我竟然一A $HNOI2017day1 T3$ .....

　　$Ans=min(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i+c))$

　　最后发现根据二次函数的知识可以确定$c$的取值,关键是旋转操作.

　　确定$c$后发现式子只取决于$\sum_{i=1}^{n}(x_i*y_i)$

　　把$x$数组断环为链,再翻转一下,就是一个卷积的形式了....

　　所以直接上$FFT$就可以了.

　　细节有点多,我过了样例就没管了...哈哈哈

}

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define db double
#define N 1000000
using namespace std;
typedef complex<db>W;
const db pi=acos(-1);
W a[N],b[N];
int rev[N],L,n;
ll sumx1,sumx2,sumy1,sumy2;
void FFT(W * A,int f){
  for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
  for(int i=1;i<n;i<<=1){
    W wn(cos(pi/i),sin(f*pi/i)),x,y;
    for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
      W w(1,0);
      for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
    x=A[j+k],y=w*A[j+k+i];
    A[j+k]=x+y;
    A[j+k+i]=x-y;
      }
    }
  }
}
ll Ans,len;
ll f(int x){return len*x*x+2*x*(sumx1-sumy1);}
ll min(ll a,ll b,ll c){return min(min(a,b),c);}
void pre(){
  Ans=sumx2+sumy2;
  ll flag=abs(sumx1-sumy1);
  ll x=-(sumx1-sumy1)/n;
  if(flag%n)Ans+=min(f(x+1),f(x),f(x-1));
  else Ans+=f(x);
}
int main(){
  int c;
  scanf("%d%d",&n,&c);len=n;int m=n*2-1;n--;
  for(int i=0;i<=n;++i){
    int x;scanf("%d",&x);a[i]=a[i+n+1]=x;
    sumx1+=x;
    sumx2+=x*x;
  }reverse(a,a+m+1);
  for(int i=0;i<=n;++i){
    int x;scanf("%d",&x);b[i]=x;
    sumy1+=x;
    sumy2+=x*x;
  }pre();m*=2;
  for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
  for(int i=0;i<=n;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
  FFT(a,1),FFT(b,1);
  for(int i=0;i<n;++i)a[i]*=b[i];
  FFT(a,-1);
  ll tmp(0);
  for(int i=len;i<=m;++i)
    tmp=max(tmp,(ll)(a[i].real()/n+0.5));
  cout<<Ans-2*tmp;
  return 0;
}