[BZOJ4827][Hnoi2017]礼物

Posted 2020-10-13 Elder_Giang

4827: [Hnoi2017]礼物

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Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一

个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突

然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有

装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，

但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差

异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，

其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物

亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2麻烦你帮他

计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。

接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。

1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

Sample Input

5 6
1 2 3 4 5
6 3 3 4 5

Sample Output

1
【样例解释】
需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第
二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为
：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

 

把式子展开可以发现答案是一个关于$c$的二次函数

只不过常数项和$\sum_{i=1}^nx[i] * y[i]$有关，要求的是这个式子的最大值

如果枚举旋转的话肯定会TLE

可以发现如果把两个手环看做多项式

那么把一个翻转，再做卷积就可以求出每一个旋转的答案，取最大值即可

FFT/NTT

注意二次函数的对称轴不一定是整数，多算两个值即可

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int readint(){
    int n = 0;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) ch = getchar();
    while(ch <= ‘9‘ && ch >= ‘0‘){
        n = (n << 1) + (n << 3) + (ch & 15);
        ch = getchar();
    }
    return n;
}
typedef long long ll;
const int maxn = 1 << 18;
const ll P = 479 << 21 | 1, g = 3;
ll wn[20];
inline ll ksm(ll a, ll b, const ll &mod){
    ll s = 1;
    while(b){
        if(b & 1) s = s * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return s;
}
void change(ll s[], int len){
    for(int i = 0, j = 0, k; i < len - 1; i++){
        if(i < j) swap(s[i], s[j]);
        k = len >> 1;
        while(j >= k){
            j -= k;
            k >>= 1;
        }
        j += k;
    }
}
void FNTT(ll s[], int len, int on){
    change(s, len);
    for(int id = 0, h = 2; h <= len; h <<= 1){
        id++;
        for(int j = 0; j < len; j += h){
            ll w = 1;
            for(int k = j; k < j + (h >> 1); k++){
                ll u = s[k] % P, t = w * s[k + (h >> 1)] % P;
                s[k] = (u + t) % P;
                s[k + (h >> 1)] = (u - t + P) % P;
                w = w * wn[id] % P;
            }
        }
    }
    if(on == -1){
        for(int i = 1; i < (len >> 1); i++) swap(s[i], s[len - i]);
        ll inv = ksm(len, P - 2, P);
        for(int i = 0; i < len; i++) s[i] = s[i] * inv % P;
    }
}
ll x[maxn], y[maxn], A[maxn], B[maxn];
int main(){
    for(int i = 1; i < 20; i++) wn[i] = ksm(3, (P ^ 1) >> i, P);
    int n, m;
    n = readint();
    m = readint();
    ll s1 = 0, s2 = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) x[i] = readint();
    for(int i = 0; i < n; i++) y[i] = readint();
    for(int i = 0; i < n; i++){
        s1 += x[i] * x[i] + y[i] * y[i];
        s2 += x[i] - y[i];
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        A[i] = x[i];
        B[i] = y[n - i - 1];
    }
    int len = 1;
    while(len < (n << 1)) len <<= 1;
    FNTT(A, len, 1);
    FNTT(B, len, 1);
    for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = A[i] * B[i] % P;
    FNTT(A, len, -1);
    ll mx = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) mx = max(mx, A[i] + A[i + n]);
    s1 -= mx << 1;
    ll dcz =  s2 / n;
    ll ans = s1 - 2LL * dcz * s2 + dcz * dcz * n;
    dcz++;
    ans = min(ans, s1 - 2LL * dcz * s2 + dcz * dcz * n);
    dcz -= 2;
    ans = min(ans, s1 - 2LL * dcz * s2 + dcz * dcz * n);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}