Miller-Rabin算法 codevs 1702 素数判定 2

Posted 2020-07-09 tech-chen

转载自：http://www.dxmtb.com/blog/miller-rabbin/

普通的素数测试我们有O(√ n)的试除算法。事实上，我们有O(slog³n)的算法。

定理一：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1)≡1(mod p)。即假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。（费马小定理）

该定理的逆命题是不一定成立的，但是令人可喜的是大多数情况是成立的。

于是我们就得到了一个定理的直接应用，对于待验证的数p，我们不断取a∈［1，p-1]且a∈Z，验证a^(p-1) mod p是否等于1，不是则p果断不是素数，共取s次。其中a^(p-1) mod p可以通过把p-1写成二进制，由(a*b)mod c=(a mod c)*b mod c，可以在t=log(p-1)的时间内计算出解，如考虑整数相乘的复杂度，则一次计算的总复杂度为log³(p-1)。这个方法叫快速幂取模。

为了提高算法的准确性，我们又有一个可以利用的定理。
定理二：对于0<x<p，x^2 mod p =1 => x=1或p-1。

我们令p-1=(2^t)*u，即p-1为u二进制表示后面跟t个0。我们先计算出x[0]=a^u mod p ，再平方t次并在每一次模p，每一次的结果记为x[i]，最后也可以计算出a^(p-1) mod p。若发现x[i]=1而x[i-1]不等于1也不等于p-1，则发现p果断不是素数。

可以证明，使用以上两个定理以后，检验s次出错的概率至多为2^(-s)，所以这个算法是很可靠的。

需要注意的是，为了防止溢出（特别大的数据），a*b mod c 也应用类似快速幂取模的方法计算。当然，数据不是很大就可以免了

 

codevs 1702 素数判定 2

 时间限制: 1 s

 空间限制: 128000 KB

 题目等级 : 钻石 Diamond

 

题目描述 Description

一个数，他是素数么？

设他为P满足(P<=2^63-1)

 

输入描述 Input Description

P

输出描述 Output Description

Yes|No

样例输入 Sample Input

2

 

样例输出 Sample Output

Yes

 

数据范围及提示 Data Size & Hint

算法导论——数论那一节
注意Carmichael Number

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 素数判定 数论

 

解析：因为数据范围是2^63-1很大，一般方法时间复杂度很高，所以用随机化算法--Miller Rabin算法

 1 /*我唯一想说的就是，这个题目数据错了*/
 2 #define S 15
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 #include<cstdio>
 6 #define ll long long
 7 #include<cstdlib>
 8 #include<ctime>
 9 ll quick_mod(ll x,ll u,ll n)
10 {
11     x%=n;
12     ll ans=1;
13     while(u)
14     {
15         if(u&1)
16         {
17             u--;
18             ans=(ans*x)%n;
19         }
20         u>>=1;
21         x=(x*x)%n;
22     }
23     return ans;
24 }
25 bool miller_rabin(ll n)
26 {
27     if(n==2) return true;
28     if(n==1||!(n&1)) return false;
29     ll u=n-1;
30     ll t=0;
31     while(!(u&1))
32     {
33         t++;
34         u>>=1;
35     }
36     for(int i=0;i<S;++i)
37     {/*这里可以随机找出x,也可以手打一张表，int ss[7]={2,3,5,7,11,13,17};事实证明这个表在long long范围内都是正确的*/
38         ll x=rand()%(n-1)+1;
39         x=quick_mod(x,u,n);
40         for(int i=1;i<=t;++i)
41         {
42             ll y=quick_mod(x,2,n);
43             if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)
44               return false;
45             x=y;
46         }
47         if(x!=1)
48           return false;
49     }
50     return true;
51 }
52 int main()
53 {
54     srand(time(0));
55     ll n;
56     cin>>n;
57     if(miller_rabin(n))
58        printf("Yes");
59     else printf("No");
60     return 0;
61 }