浅谈Miller-Rabin素数检测算法

Posted 2021-03-14 fusiwei

浅谈Miller-Rabin素数检测

对于素数判断的操作，我们通常使用的是时间复杂度为(O(sqrt N))的试除法。按理说这种复杂度已经是较优秀的了，但是假如给定的需要判断的数极其之大，并且给定的时限不够以(O(sqrt N))的试除法来判断，该怎么办？

题出错了

想得美。

于是，今天的主角出场了：Miller-Rabin素数检测。

Miller-Rabin素数检测算法用于在短时间内判断出一个数是否是质数，时间复杂度比试除法优秀，应该是(O(T imes log N))级别的（T为检测轮数）。

Miller-Rabin算法的实现原理

其实，试除法是目前能实现的百分百正确率判断质数的最快方法。Miller-Rabin之所以能够比它更快，是在牺牲了正确率的基础上。（汗）但是千万不要质疑这个算法的正确性。这种有一定容错率的算法统称为概率型算法，它们的特点就是不保对，但是用起来的确非常的爽。并且，它们的容错率也非常低，可以用多次检测来弥补。

经过理论证明，Miller-Rabin的错误率是(4^{-T})，T是检测轮数，一般来讲，当(T)达到50左右时，就可以将错误率降到非常低的程度。甚至，比计算机本身出错的概率还要低。

那么，在了解了Miller-Rabin的随机性之后，我们接下来要学习它的实现原理。

Miller-Rabin的实现原理利用了费马小定理。费马小定理的内容是：

[ a^{p-1}equiv 1,,,,(mod,,p) ]

（(p)为质数）

如果想详细了解费马小定理，敬请参考百度百科。

那么，这个费马小定理就可以作为素数性的一个判断依据。往简单说，就是针对一个大整数，如果(a^{p-1}\%p=1)，那么这个数有很大可能是质数。反之，那么这个数一定不是质数。

好啦！那就拿(a^{p-1}\%p)，快速幂取模一下看一看就得了！

这当然是错的。首先，这种方式的错误率很高，你需要反复地用不同的a检测很多次，时间复杂度噌噌上，最后还有可能依然是错误答案。所以我们应该在费吗小定理的基础上再加一个约束条件，使得算法能够稳定、有序的输出正确解。

介绍下一个理论依据：二次探测定理。

二次探测定理的内容是：

如果一个数(p)是质数，对于一个(xin (0,p))且(xin Z)，方程(x^2 equiv 1,,,,(mod,,p))的解有且只有两个：(x=1)或(x=p-1)。

那么，在快速幂累乘的基础上，反复判断现在的(p)是否符合二次探测定理，就大大增加了其正确性。

具体的实现方式是：

如果一个数(p)是质数，那么(p-1)一定会是个偶数（你不要拿2来刚我），那么，对于这个指数(p-1)，我们可以将其分解成(m imes 2^k)的形式，其中(m)为奇数。那么根据快速幂的原理，我们就会依次对以下数列进行二次探测定理的检测：

[ m,2m,4mcdots m imes 2^{k-1},m imes 2^k ]

如果这些都合法，最后用费马小定理判断一下是否合法即可。

Miller-Rabin算法的模板

bool Miller_check(int a,int n)
{
    int ret=1;
    int b=n-1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ret=(ret*a)%n;
        int x=a;//采用临时变量保存改变前的a
        a=(a*a)%n;
        if(a==1 && x!=1 && x!=n-1)//当a为1的时候，方程成立，开始判断解。
            return 0;//不是素数
        b>>=1;
    }
    return (ret==1)?1:0;
}
bool Miller_Rabin(int n,int t)
{
    if(n==2)
        return 1;
    if(n<2 || !(n&1))
        return 0;
    while(t--)
    {
        srand(time(NULL));
        int a=rand();//a要随机数
        if(!Miller_check(a,n))
            return 0;
    }
    return 1;
}

要注意的是，因为我们普遍用Miller-Rabin检测大数，所以在实际应用的时候往往要开long long。代码为了美观简化就删去了这个步骤，请应用的时候一定要加上。

Miller-Rabin算法大体就是这样！谢谢大家的观看！！