Miller-Rabin算法

Posted 2021-02-01 antigonae

写在前面：

　　记录了个人的学习过程，同时方便复习

　　整理自网络

　　非原创部分会标明出处

 

by blackgryph0n

 

目录 结论 证明 拓展 实现

 

 

结论

　　Miller-Rabin算法可以在O(k log2(n))的时间内检测一个超级大的正整数n是否是素数，k为自己设定的检测的次数

 

证明

　　[?]费马-欧拉定理

　　对于任意素数p，以及对于模p的剩余类环{1,2,...,p-1}中的任意数x，都满足x^p ≡ x (mod p)

　　[?]快速幂

　　p是素数为x^p ≡ x (mod p)的充分不必要条件

　　但是仍然可以用这个技巧来排除大量的合数

　　为了排除大量合数，我们需要从模p的剩余类环中选取更多的数进行测试，以增强结果的可信度，即二次探测定理，只要存在一个数x不满足x^p ≡ x (mod p)，那么p就绝不可能是素数

 

拓展

　　然而某些合数模p的剩余类环中，对于任意1,..,p-1中的x都满足x^p ≡ x (mod p)，这类合数称为卡迈克尔(Carmichael)数

　　Carmichael数是比较少的，在1~100000000范围内的整数中，只有255个

In number theory, a Carmichael number is a composite number n which satisfies the modular arithmetic congruence relation bn-1 ≡ 1 (mod n) for all integers b which are relatively prime to n   　　They are named for Robert Carmichael. The Carmichael numbers are the subset K1 of the Kn?del numbers 　　Equivalently, a Carmichael number is a composite number bn ≡ b (mod n) for which  for all integers b ——Wikipedia

 

常见卡迈克尔数： 561 1105 1729 2465 2821 6601 8911 10585 15841 …… ——bia度百科

　　裸的Miller-Rabin算法不能够筛除这样的合数

 

实现

上代码：

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 
 6 int const times=10;
 7 
 8 ll ponyFE(ll a,ll b,ll c)
 9 {
10     ll ans=1;
11     a%=c;
12     while(b!=0)
13     {
14         if(b&1) ans=(ans*a)%c;
15         b>>=1;
16         a=(a*a)%c;
17     }
18     return ans;
19 }
20 
21 bool millerRabin(ll x)
22 {
23     if(x==2) return 1;
24     if(!(x&1)||x==1) return 0;
25     
26     ll d=x-1,m;
27     while(!(d&1)) d>>=1;ll tmp=d;
28     for(int i=1;i<=times;++i)
29     {
30         d=tmp;
31         
32         m=ponyFE(rand()%(x-2)+2,d,x);
33         if(m==1) goto ok;
34         else for(;d<x&&d>=0;m=(m*m)%x,d<<=1)
35             if(m==x-1) goto ok;
36             
37         return 0;
38         ok:{}
39     }
40     
41     return 1;
42 }
43 
44 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
45 {
46     int tot=0;
47     for(ll i=1;i<=100;++i)
48         if(millerRabin(i)) printf("%d
",i),++tot;    
49     printf("tot:%d
",tot);
50     
51     return 0;
52 }

Java：