AOV网络和Kahn算法拓扑排序

Posted 2020-10-30 努力努力再努力x

1.AOV与DAG

活动网络可以用来描述生产计划、施工过程、生产流程、程序流程等工程中各子工程的安排问题。

 

一般一个工程可以分成若干个子工程，这些子工程称为活动（Activity）。完成了这些活动，整个工程就完成了。例如下图的代表的计算机专业课程，学习就是一个工程，每门课程的学习就是整个工程中的一个活动。

 

我们可以用上图的有向图来表示课程之间的先修关系。在这种有向图中，顶点表示课程学习活动，有向边表示课程之间的先修关系。例如顶点C1到C8有一条有向边，表示课程C1必须在课程C8之前先学习完。

 

实际上，在这种有向图中，用顶点表示活动，用有向边表示活动u必须先于活动v进行。这种有向图叫做活动网络（Activity on Vertices），记做AOV网络。

 

前驱与后继：在AOV网络中，如果存在有向边，则称活动u必须在活动v之前进行，并称u是v的直接前驱，v是u的直接后继。如果存在有向路径，则称u是v的前驱，v是u的后继。

 

有向环与有向无环图：从前驱与后继的传递性和反自反性可以看出，AOV网络中不能出现有向回路（或称为有向环）。不含有向回路的有向图称为有向无环图(DAG, Directed Acyclic Graph)。

 

在AOV网络中如果出现了有向回路，则意味着某项活动以自己作为先决条件，这是不对的。

2.拓扑排序

 

判断有向无环图的方法是对AOV网络构造它的拓扑有序序列。即将各个顶点排列成一个线性有序的序列，使得AOV网络中所有存在的前驱和后继关系都能得到满足。

 

这种构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运算称为拓扑排序(Topological Sorting)。

 

如果通过拓扑排序能将AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中，则该AOV网络中必定不存在有向环；相反，如果得不到所有顶点的拓扑有序序列，则说明该AOV网络中存在有向环，此AOV网络所代表的工程是不可行的。

 

例如对上图所示的学生选课工程图进行拓扑排序，得到的拓扑有序序列为：

 

C1，C2，C3，C4，C5，C6，C8，C9，C7

或者

C1，C8，C9，C2，C5，C3，C4，C7，C6 

 

由此可见，AOV网络的拓扑有序序列可能不唯一。

 

3.Kahn算法拓扑排序算法：

 

（1）从有向图中选择一个没有前驱(即入度为0)的顶点并且输出它；

（2）从网中删去该顶点,并且删去从该顶点发出的全部有向边；

（3）重复上述两步,直到剩余的网中不再存在没有前趋的顶点为止。

 

输入：

6 8
1 2
1 4
2 6
3 2
3 6
5 1
5 2
5 6

6 8

1 3

1 2

2 5

3 4

4 2

4 6

5 4

5 6

输出：

Great! There is not cycle.
5 1 4 3 2 6

Network has a cycle!

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<queue>
 7 #include<stack>
 8 #include<map>
 9 #include<set>
10 #include<sstream>
11 #include<functional>
12 using namespace std;
13 typedef long long ll;
14 const int maxn = 1000 + 10;
15 const int INF = 1e9 + 7;
16 int T, n, m, cases;
17 vector<int>Map[maxn];
18 int Count[maxn];
19 void topo()
20 {
21     stack<int>s;//存储入度数为0的顶点
22     vector<int>v;//存取拓扑排序的答案
23     for(int i = 1; i <= n; i++)//下标从1开始
24         if(Count[i] == 0)s.push(i);
25     while(!s.empty())
26     {
27         int now = s.top();
28         v.push_back(now);
29         s.pop();
30         for(int j = 0; j < Map[now].size(); j++)
31         {
32             if((--Count[Map[now][j]]) == 0)
33             {
34                 s.push(Map[now][j]);
35             }
36         }
37     }
38     if(v.size() != n)cout<<"Network has a cycle!"<<endl;
39     else
40     {
41         cout<<"Great! There is not cycle."<<endl;
42         for(int i = 0; i < v.size(); i++)cout<<v[i]<<" ";
43         cout<<endl;
44     }
45 }
46 int main()
47 {
48     while(cin >> n >> m)
49     {
50         if(!n && !m)break;
51         int u, v;
52         for(int i = 0;  i <= n; i++)Map[i].clear();
53         memset(Count, 0, sizeof(Count));
54         for(int i = 0; i < m; i++)
55         {
56             cin >> u >> v;
57             Map[u].push_back(v);
58             Count[v]++;//存入度
59         }
60         topo();
61     }
62     return 0;
63 }

 时间复杂度：由于每个点入栈出栈一次，每条边扫描一次，时间复杂度为O(m + n)