历届试题 矩阵翻硬币
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了历届试题 矩阵翻硬币相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
题目解析：
1、从题目得知，如果一个硬币被翻转了奇数次后为正面朝上，那么它原始的状态一定是反面朝上。因此，我们需要统计所有翻转了奇数次硬币的个数。
2、题目中的 “ 对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转 ”。我们可以试着逆向思索，对于一个横坐标为X的硬币而言，我们翻转哪些硬币会影响到它而使它翻转呢？由此我们可以得出，当翻转的硬币的横坐标为X的约数时，会影响到它的翻转。比如，X=9，那么翻转横坐标为 1、3、9的时候会影响到它的翻转。纵坐标情况同理。
对于一个硬币，我们必须考虑到它的横坐标和纵坐标。假如，此硬币的横坐标翻转了5次，纵坐标翻转了6次，那么它总的翻转次数为 5 * 6 = 30 次。因此我们得到一个公式：总翻转次数 (count) = 横坐标翻转次数 (count_x) * 纵坐标翻转次数 (count_y)。我们一开始就指出，我们需要找到翻转了奇数次的硬币，因此，横坐标翻转次数和纵坐标翻转次数均为奇数时，总翻转次数才为奇数次。
3、接下来我们需要考虑，哪些数有奇数个约数呢？答案是完全平方数。它为 1,4,9,16,25,36...... 即n的2次方，n为从1开始的正整数。
从题目中得知，此时是一个 n * m 的矩阵，行号和列号都是从1开始。因此我们需要解决 1 到 n 之间完全平方数个数的问题。方法是求出sqrt(n)，然后对它取整，即 1 - n 之间总共有 (int)(sqrt(n)) 个完全平方数。因此，反面朝上硬币的个数为横纵坐标完全平方数个数相乘，即 (int)((sqrt(n)) * (sqrt(m))) 。
4、由于此题的数据是超大规模的。因此，我们需要解决大数开方、大数相乘和大数比较等问题。
通常使用 String 来接受键盘输入大数，因为它的长度比较容易控制。而使用 java.math.BigInteger 包中的 BigInteger 类来存储大数据。它的原则是，只要计算机有足够的的内存，它就能存储多长位数的数。
大数开方： 牛顿逼近法。
如果一个数的位数为偶数，那么这个数的方根就有 n/2 位，如果一个数的位数为奇数，这个数的方根就有 n/2 + 1 位。
比如 num=1000 ，那么它的位数为 4 ，即方根就有 2 位。我们从方根的最高位进行枚举。
先枚举出它的十位：
10 * 10 = 100 < 1000
20 * 20 = 400 < 1000
30 * 30 = 900 < 1000
40 * 40 = 1600 > 1000
则这个根的十位为 3 。
再枚举它的个位：
31 * 31 = 961 < 1000
32 * 32 = 1024 > 1000
则这个根的个位为 1 。即这个方根为 31 。
大数相乘：调用 java.math.* 包中的 multiply 方法。比如 bigNum1.multiply(bigNum2)
import java.math.*;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class BigNum {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
String s1 = sc.nextLine();
String s2 = sc.nextLine();
System.out.println(bigSqrt(s1).multiply(bigSqrt(s2)));
}
private static BigInteger bigSqrt(String num) {
int length = num.length(); //被开方数的位数
int sqrt_len = 0; //开方数的位数
if(length % 2 == 0){
sqrt_len = length / 2;
}else{
sqrt_len = length / 2 + 1;
}
BigInteger beSqrtNum = new BigInteger(num);
char[] ch = new char[sqrt_len]; //记录开方数，开房数在数组中逆序存放
Arrays.fill(ch, \'0\'); //将ch数组初始化为\'0\'
for(int i = 0; i < sqrt_len; i++){ //从开房数的最高位开始计算，使 每一位都转化为 开方数的平方且不大于被开方数
for(char j = \'1\'; j <= \'9\'; j++ ){
ch[i] = j;
String s = String.valueOf(ch);
BigInteger sqrtNum = new BigInteger(s);
BigInteger squareNum = sqrtNum.multiply(sqrtNum);
if(squareNum.compareTo(beSqrtNum) == 1){ //大数比较问题
ch[i] -= 1;
break;
}
}
}
return new BigInteger(String.valueOf(ch));
}
}
仅供参考...
以上是关于历届试题 矩阵翻硬币的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章