矩阵翻硬币

Posted 2020-10-24 TQCAI

OJ链接：http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T126

如果能理解其内在的含义，可以得40分保命：

保命代码：

#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include <math.h>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <map>


#define I scanf
#define OL puts
#define O printf
#define F(a,b,c) for(a=b;a<c;a++)
#define FF(a,b) for(a=0;a<b;a++)
#define FG(a,b) for(a=b-1;a>=0;a--)
#define LEN 100
#define MAX 0x06FFFFFF
#define V vector<int>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main(){
//    http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T126
//    freopen("D:/CbWorkspace/blue_bridge/矩阵翻硬币.txt","r",stdin);
    ll n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    printf("%lld",ll(sqrt(n))*ll(sqrt(m))); 
    return 0;
}

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套路理解：

     先看 n = 1 的情况：对于(1 , m),只要看它翻转的次数奇偶就能确定它最终的状态。因为 x = 1， 每次第一行都要参与翻转，当 y 能整除 m 的时候，(1 , m)会翻转，(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数，1 的约数个数为1 ， 3 的约数个数为2， 5 的约数个数为2， 9 的约数个数为3。当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其约数个数为奇数，否则 其约数个数为偶数。 因为一般数约数都是成对出现，而一个数的平方数，有两个约数相等。

     所以，最后(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最终状态为0，其他则为1。

     而最后0的个数总和 count = sqrt(m) , 取整。

     再来看一般情况：(n , m)最后状态是什么？现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出，当m确定后，他的翻转次数为 n 的约数个数。而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了，只有在(n , m)翻转的次数为奇数时 它的最终状态为 0。而只有 奇数*奇数 = 奇数，所以n ,m的约数个数必须为奇数，即： n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且  m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。

 

     最后得出结论：

       对于n行m列矩阵，经过 Q 操作后 反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整后再相乘)。

 

高精度开方：

假设位数为len的整数，开方取整后为一个lenSqrt位数。

        当len为偶数，lenSqrt = len / 2 .

        当len为奇数，lenSqrt = (len / 2) + 1 .

     证明很简单，这里就不证了。

     现在就简单了，位数确定了从高位到低位一位一位地确定。比如：sqrt(1028) ，表示对1028开方取整

     它开方取整后两位数.先看第一位：

     取 0， 00 * 00 < 1028  所以sqrt(1028) > 00

     取 1， 10 * 10 < 1028  所以sqrt(1028) > 10

     取 2， 20 * 20 < 1028  所以sqrt(1028) > 20

     取 3， 30 * 30 < 1028  所以sqrt(1028) > 30

     取 4， 40 * 40 > 1028  所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。

     第二位：

     取 0,  30 * 30 < 1028  所以sqrt(1028) > 30
     取 1,  31 * 31 < 1028  所以sqrt(1028) > 31

     取 2,  32 * 32 < 1028  所以sqrt(1028) > 32
     取 3,  33 * 33 > 1028  所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。

    大数是一样的道理，只不过大数用字符串保存，字符串相乘也要自己来实现。

 

结果只得了70分：

#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include <math.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <map>


#define I scanf
#define OL puts
#define O printf
#define F(a,b,c) for(a=b;a<c;a++)
#define FF(a,b) for(a=0;a<b;a++)
#define FG(a,b) for(a=b-1;a>=0;a--)
#define LEN 3000
#define MAX 0x06FFFFFF
#define V vector<int>

using namespace std;

typedef long long ll;

struct hp{
    int len;
    int s[LEN+1];
    hp(){
        len=1;
        int i;
        for(i=1;i<=LEN;i++){
            s[i]=0;
        }
    }
    hp(char* ch){
        int i;
        len=strlen(ch);
        for(i=1;i<=len;i++)
            s[i]=ch[len-i]-48;
        for(;i<=LEN;i++)
            s[i]=0;
    }
    void print(){
        int i;
        for(i=len;i>=1;i--)
            printf("%d",s[i]);
    }
    string output(){
        int i;
        string ans;
        for(i=len;i>=1;i--){ 
            char buf[100];
            sprintf(buf,"%d",s[i]);
            ans+=buf;
        }
        return ans;
    } 
};

int compare(const hp& a,const hp& b){
    int len=max(a.len,b.len);
    while(len>0 && a.s[len]==b.s[len]) len--;
    if(len==0)
        return 0;
    else return a.s[len]-b.s[len];
}

void multiplyh(const hp& a,const hp& b,hp& c){
    int i,j,len=a.len+b.len+1;
    c=hp();
    for(i=1;i<=a.len;i++){
        for(j=1;j<=b.len;j++){
            c.s[i+j-1]+=a.s[i]*b.s[j];
            c.s[i+j]+=c.s[i+j-1]/10;
            c.s[i+j-1]%=10;
        }
    }
    while(len>1 && c.s[len]==0) len--;
    c.len=len;
}

void square(const hp&a,hp &c){
    multiplyh(a,a,c);
}

void sqrth(const hp&a,hp &c){
    int i,j,len=(a.len+1)/2;
    c=hp();
    hp t;
    c.len=len;
    for(i=len;i>=0;i--){
        for(j=0;j<=9;j++){
            c.s[i]=j;
            square(c,t);
            if(compare(t,a)>0){
                c.s[i]=j-1;
                break;
            }
        }
    }
}

int main(){
//    http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T126
//    freopen("D:/CbWorkspace/blue_bridge/矩阵翻硬币.txt","r",stdin);
    char buf[LEN];
    scanf("%s",buf);
    hp a(buf);
    scanf("%s",buf);
    hp b(buf);
    hp c,d,e;
    sqrth(a,c);
    sqrth(b,d);
    multiplyh(c,d,e);
    e.print();
    return 0;
}

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