本文转自：http://blog.csdn.net/snailset/article/details/26752435
题目：
小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
输入格式
输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出格式
输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
样例输入
2 3
样例输出
1
数据规模和约定
对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
题目的意思很清楚。小M提供了一种算法，这里演示一下 n = 2, m = 3矩阵的翻硬币过程(1 表示 正面， 0 表示 反面)
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
x的倍数行,y的倍数列要翻转
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
这种方法很麻烦，小数据还能应付，像题目中要求有1000位数，根本不可能，所以有必要另避蹊径。从简单到复杂，慢慢分析，看有什么规律：
先看 n = 1 的情况：对于(1 , m),只要看它翻转的次数奇偶就能确定它最终的状态。因为 x = 1， 每次第一行都要参与翻转，当 y 能整除 m 的时候，(1 , m)会翻转，(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数，1 的约数个数为1 ， 3 的约数个数为2， 5 的约数个数为2， 9 的约数个数为3。当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其约数个数为奇数，否则 其约数个数为偶数。 因为一般数约数都是成对出现，而一个数的平方数，有两个约数相等。
所以，最后(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最终状态为0，其他则为1。
而最后0的个数总和 count = sqrt(m) , 取整。
再来看一般情况：(n , m)最后状态是什么？现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出，当m确定后，他的翻转次数为 n 的约数个数。而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了，只有在(n , m)翻转的次数为奇数时 它的最终状态为 0。而只有 奇数*奇数 = 奇数，所以n ,m的约数个数必须为奇数，即： n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且 m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。
最后得出结论：
对于n行m列矩阵，经过 Q 操作后 反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整后再相乘)。
终于是找到了公式，可是又有了新的难题，怎么对1000位数开方呢？这里先给出定理：
假设位数为len的整数，开方取整后为一个lenSqrt位数。
当len为偶数，lenSqrt = len / 2 .
当len为奇数，lenSqrt = (len / 2) + 1 .
证明很简单，这里就不证了。
现在就简单了，位数确定了从高位到低位一位一位地确定。比如：sqrt(1028) ，表示对1028开方取整
它开方取整后两位数.先看第一位：
取 0， 00 * 00 < 1028 所以sqrt(1028) > 00
取 1， 10 * 10 < 1028 所以sqrt(1028) > 10
取 2， 20 * 20 < 1028 所以sqrt(1028) > 20
取 3， 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30
取 4， 40 * 40 > 1028 所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。
第二位：
取 0, 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30
取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31
取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31
取 2, 32 * 32 < 1028 所以sqrt(1028) > 32
取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。
取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。
大数是一样的道理，只不过大数用字符串保存，字符串相乘也要自己来实现。
下面给出已经在蓝桥杯官网通过的 C++ code：由于实现的很仓促，所以没有做太大的优化。
1 #include <iostream> 2 #include <string> 3 using namespace std; 4 5 //两个字符串相乘 6 string strMultiply(string str1 , string str2) 7 { 8 string strResult = ""; 9 int len1 = str1.length(); 10 int len2 = str2.length(); 11 int num[500] = {0}; 12 int i = 0, j = 0; 13 for(i = 0; i < len1; i++) 14 { 15 for(j = 0; j < len2; j++) 16 { 17 num[len1-1 - i + len2-1 - j] += (str1[i] - ‘0‘)*(str2[j] - ‘0‘); 18 } 19 } 20 21 for(i = 0; i < len1 + len2; i++) 22 { 23 num[i+1] += num[i] / 10; 24 25 num[i] = num[i] % 10; 26 } 27 28 for(i = len1 + len2 - 1; i >= 0 ; i--) 29 { 30 if(0 != num[i]) break; 31 } 32 33 for(j = i; j >= 0; j--) 34 { 35 strResult += num[j] + ‘0‘; 36 } 37 return strResult; 38 } 39 40 //str1 * 10^pos后(即在str1后添上pos个0)，与str2作比较 41 int compare(string str1, string str2, int pos) 42 { 43 int len1 = str1.length(); 44 int len2 = str2.length(); 45 if(len2 > len1+pos) return 0; 46 if(len2 < len1+pos) return 1; 47 int i = 0; 48 for(i = 0; i < len2; i++) 49 { 50 if(str1[i]-‘0‘ > str2[i]-‘0‘) return 1; 51 if(str1[i]-‘0‘ < str2[i]-‘0‘) return 0; 52 } 53 return 0; 54 } 55 56 //对大数str开方取整 57 string sqrtLarge(string str) 58 { 59 int len = str.length(); 60 int i = 0; 61 int j = 0; 62 string strResult = ""; 63 string str1 = ""; 64 if(0 == len % 2) 65 { //为偶数位 66 for(i = 0; i < len/2; i++) 67 { 68 for(j = 0; j < 10; j++) 69 { 70 str1 = strResult; 71 str1 += j + ‘0‘; 72 if(1 == compare(strMultiply(str1, str1) , str , 2*(len/2-i-1)) ) 73 { //由于str1后少了len/2-i-1个0，所以平方以后少了2*(len/2-i-1)个 74 strResult += j-1 + ‘0‘; 75 break; 76 } 77 if(9 == j) strResult += ‘9‘; 78 } 79 } 80 } 81 else 82 { //为奇数位 83 for(i = 0; i < len/2+1; i++) 84 { 85 for(j = 0; j < 10; j++) 86 { 87 str1 = strResult; 88 str1 += j + ‘0‘; 89 if(1 == compare(strMultiply(str1, str1) , str , 2*(len/2-i)) ) 90 { 91 strResult += j-1 + ‘0‘; 92 break; 93 } 94 if(9 == j) strResult += ‘9‘; 95 } 96 } 97 } 98 return strResult; 99 } 100 int main() 101 { 102 string str1; 103 string str2; 104 string strResult; 105 cin>>str1>>str2; 106 107 cout<<strMultiply(sqrtLarge(str1) , sqrtLarge(str2))<<endl; 108 109 return 0; 110 }