蓝桥杯--矩阵翻硬币

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了蓝桥杯--矩阵翻硬币相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

本文转自:http://blog.csdn.net/snailset/article/details/26752435

 

 题目:

     小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。


  随后,小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

  对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义:将所有第 i*x 行,第 j*y 列的硬币进行翻转。

  其中i和j为任意使操作可行的正整数,行号和列号都是从1开始。

  当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后,他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

  小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是,他向他的好朋友小M寻求帮助。

  聪明的小M告诉小明,只需要对所有硬币再进行一次Q操作,即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒,不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
         输入格式
       输入数据包含一行,两个正整数 n m,含义见题目描述。
         输出格式
       输出一个正整数,表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
         样例输入
    2 3
         样例输出
    1
          数据规模和约定
      对于10%的数据,n、m <= 10^3;
      对于20%的数据,n、m <= 10^7;
      对于40%的数据,n、m <= 10^15;
      对于10%的数据,n、m <= 10^1000(10的1000次方)。
 
     题目的意思很清楚。小M提供了一种算法,这里演示一下 n = 2, m = 3矩阵的翻硬币过程(1 表示 正面, 0 表示 反面)
 
                               
1 1 1
1 1 1
                                               -->(x , y) = (1 , 1)                                                                         x的倍数行,y的倍数列要翻转
0 0 0
0 0 0
                                               -->(x , y) = (1 , 2)
                                                x的倍数行,y的倍数列要翻转
0 1 0
0 1 0
                                               -->(x , y) = (1 , 3)

0 1 1
0 1 1
                                               -->(x , y) = (2 , 1)

0 1 1
1 0 0
                                               -->(x , y) = (2 , 2)

0 1 1
1 1 0
                                               -->(x , y) = (2 , 3)

0 1 1
1 1 1

     这种方法很麻烦,小数据还能应付,像题目中要求有1000位数,根本不可能,所以有必要另避蹊径。从简单到复杂,慢慢分析,看有什么规律:
     先看 n = 1 的情况:对于(1 , m),只要看它翻转的次数奇偶就能确定它最终的状态。因为 x = 1, 每次第一行都要参与翻转,当 y 能整除 m 的时候,(1 , m)会翻转,(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数,1 的约数个数为1 , 3 的约数个数为2, 5 的约数个数为2, 9 的约数个数为3。当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其约数个数为奇数,否则 其约数个数为偶数。 因为一般数约数都是成对出现,而一个数的平方数,有两个约数相等。
     所以,最后(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最终状态为0,其他则为1。
     而最后0的个数总和 count = sqrt(m) , 取整。
 
     再来看一般情况:(n , m)最后状态是什么?现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出,当m确定后,他的翻转次数为 n 的约数个数。而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了,只有在(n , m)翻转的次数为奇数时 它的最终状态为 0。而只有 奇数*奇数 = 奇数,所以n ,m的约数个数必须为奇数,即: n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且  m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。
 
     最后得出结论:
       对于n行m列矩阵,经过 Q 操作后 反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整后再相乘)。
 
     终于是找到了公式,可是又有了新的难题,怎么对1000位数开方呢?这里先给出定理:
        假设位数为len的整数,开方取整后为一个lenSqrt位数。
        当len为偶数,lenSqrt = len / 2 .
        当len为奇数,lenSqrt = (len / 2) + 1 .
     证明很简单,这里就不证了。
     现在就简单了,位数确定了从高位到低位一位一位地确定。比如:sqrt(1028) ,表示对1028开方取整
     它开方取整后两位数.先看第一位:
     取 0, 00 * 00 < 1028  所以sqrt(1028) > 00
     取 1, 10 * 10 < 1028  所以sqrt(1028) > 10
     取 2, 20 * 20 < 1028  所以sqrt(1028) > 20
     取 3, 30 * 30 < 1028  所以sqrt(1028) > 30
     取 4, 40 * 40 > 1028  所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。
     第二位:
     取 0,  30 * 30 < 1028  所以sqrt(1028) > 30
     取 1,  31 * 31 < 1028  所以sqrt(1028) > 31
     取 2,  32 * 32 < 1028  所以sqrt(1028) > 32
     取 3,  33 * 33 > 1028  所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。
    大数是一样的道理,只不过大数用字符串保存,字符串相乘也要自己来实现。
 
    下面给出已经在蓝桥杯官网通过的 C++ code:由于实现的很仓促,所以没有做太大的优化。
  1 #include <iostream>  
  2 #include <string>  
  3 using namespace std;  
  4   
  5 //两个字符串相乘   
  6 string strMultiply(string str1 , string str2)  
  7 {  
  8     string strResult = "";  
  9     int len1 = str1.length();   
 10     int len2 = str2.length();  
 11     int num[500] = {0};  
 12     int i = 0, j = 0;     
 13     for(i = 0; i < len1; i++)  
 14     {  
 15         for(j = 0; j < len2; j++)  
 16         {  
 17             num[len1-1 - i + len2-1 - j] += (str1[i] - 0)*(str2[j] - 0);   
 18         }  
 19     }  
 20       
 21     for(i = 0; i < len1 + len2; i++)  
 22     {  
 23         num[i+1] += num[i] / 10;  
 24           
 25         num[i] = num[i] % 10;  
 26     }  
 27       
 28     for(i = len1 + len2 - 1; i >= 0 ; i--)  
 29     {  
 30         if(0 != num[i]) break;  
 31     }  
 32       
 33     for(j = i; j >= 0; j--)  
 34     {  
 35         strResult += num[j] + 0;  
 36     }  
 37     return strResult;  
 38 }  
 39   
 40 //str1 * 10^pos后(即在str1后添上pos个0),与str2作比较  
 41 int compare(string str1, string str2, int pos)  
 42 {  
 43     int len1 = str1.length();  
 44     int len2 = str2.length();  
 45     if(len2 > len1+pos) return 0;  
 46     if(len2 < len1+pos) return 1;  
 47     int i = 0;  
 48     for(i = 0; i < len2; i++)  
 49     {  
 50         if(str1[i]-0 > str2[i]-0) return 1;  
 51         if(str1[i]-0 < str2[i]-0) return 0;  
 52     }  
 53     return 0;  
 54 }  
 55   
 56 //对大数str开方取整  
 57 string sqrtLarge(string str)  
 58 {  
 59     int len = str.length();  
 60     int i = 0;   
 61     int j = 0;  
 62     string strResult = "";  
 63     string str1 = "";  
 64     if(0 == len % 2)  
 65     {         //为偶数位  
 66         for(i = 0; i < len/2; i++)  
 67         {  
 68             for(j = 0; j < 10; j++)  
 69             {  
 70                 str1 = strResult;  
 71                 str1 += j + 0;  
 72                 if(1 == compare(strMultiply(str1, str1) , str , 2*(len/2-i-1)) )  
 73                 {         //由于str1后少了len/2-i-1个0,所以平方以后少了2*(len/2-i-1)个  
 74                     strResult +=  j-1 + 0;  
 75                     break;  
 76                 }  
 77                 if(9 == j) strResult += 9;  
 78             }  
 79         }  
 80     }  
 81     else  
 82     {       //为奇数位  
 83         for(i = 0; i < len/2+1; i++)  
 84         {  
 85             for(j = 0; j < 10; j++)  
 86             {  
 87                 str1 = strResult;  
 88                 str1 += j + 0;  
 89                 if(1 == compare(strMultiply(str1, str1) , str , 2*(len/2-i)) )  
 90                 {  
 91                     strResult +=  j-1 + 0;  
 92                     break;  
 93                 }  
 94                 if(9 == j) strResult += 9;  
 95             }  
 96         }  
 97     }  
 98     return strResult;  
 99 }  
100 int main()  
101 {  
102     string str1;  
103     string str2;  
104     string strResult;  
105     cin>>str1>>str2;  
106       
107     cout<<strMultiply(sqrtLarge(str1) , sqrtLarge(str2))<<endl;  
108       
109     return 0;  
110 }  

 

以上是关于蓝桥杯--矩阵翻硬币的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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