[BZOJ4873][六省联考2017]寿司餐厅(最大权闭合子图)

Posted 2020-10-28 HocRiser

4873: [Shoi2017]寿司餐厅

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Description

Kiana最近喜欢到一家非常美味的寿司餐厅用餐。每天晚上，这家餐厅都会按顺序提供n种寿司，第i种寿司有一个

代号ai和美味度di,i，不同种类的寿司有可能使用相同的代号。每种寿司的份数都是无限的，Kiana也可以无限次

取寿司来吃，但每种寿司每次只能取一份，且每次取走的寿司必须是按餐厅提供寿司的顺序连续的一段，即Kiana

可以一次取走第1,2种寿司各一份，也可以一次取走第2,3种寿司各一份，但不可以一次取走第1,3种寿司。由于餐

厅提供的寿司种类繁多，而不同种类的寿司之间相互会有影响：三文鱼寿司和鱿鱼寿司一起吃或许会很棒，但和水

果寿司一起吃就可能会肚子痛。因此，Kiana定义了一个综合美味度di,j(i<j)，表示在一次取的寿司中，如果包含

了餐厅提供的从第i份到第j份的所有寿司，吃掉这次取的所有寿司后将获得的额外美味度。由于取寿司需要花费一

些时间，所以我们认为分两次取来的寿司之间相互不会影响。注意在吃一次取的寿司时，不止一个综合美味度会被

累加，比如若Kiana一次取走了第1,2,3种寿司各一份，除了d1,3以外，d1,2,d2,3也会被累加进总美味度中。神奇

的是，Kiana的美食评判标准是有记忆性的，无论是单种寿司的美味度，还是多种寿司组合起来的综合美味度，在

计入Kiana的总美味度时都只会被累加一次。比如，若Kiana某一次取走了第1,2种寿司各一份，另一次取走了第2,3

种寿司各一份，那么这两次取寿司的总美味度为d1,1+d2,2+d3,3+d1,2+d2,3，其中d2,2只会计算一次。奇怪的是，

这家寿司餐厅的收费标准很不同寻常。具体来说，如果Kiana一共吃过了c(c>0)种代号为x的寿司，则她需要为这些

寿司付出mx^2+cx元钱，其中m是餐厅给出的一个常数。现在Kiana想知道，在这家餐厅吃寿司，自己能获得的总美

味度（包括所有吃掉的单种寿司的美味度和所有被累加的综合美味度）减去花费的总钱数的最大值是多少。由于她

不会算，所以希望由你告诉她

Input

第一行包含两个正整数n,m，分别表示这家餐厅提供的寿司总数和计算寿司价格中使用的常数。

第二行包含n个正整数，其中第k个数ak表示第k份寿司的代号。

接下来n行，第i行包含n-i+1个整数，其中第j个数di,i+j-1表示吃掉寿司能

获得的相应的美味度，具体含义见问题描述。

N<=100,Ai<=1000

 

Output

输出共一行包含一个正整数，表示Kiana能获得的总美味度减去花费的总钱数的最大值。

Sample Input

3 1
2 3 2
5 -10 15
-10 15
15

Sample Output

12
【样例1说明】
在这组样例中，餐厅一共提供了3份寿司，它们的代号依次为a1=2，a2=3，a3=2，计算价格时的常数m=1。在保证每
次取寿司都能获得新的美味度的前提下，Kiana一共有14种不同的吃寿司方案：
1.Kiana一个寿司也不吃，这样她获得的总美味度和花费的总钱数都是0，两者相减也是0；
2.Kiana只取1次寿司，且只取第1个寿司，即她取寿司的情况为{[1,1]}，这样获得的总美味度为5，花费的总钱数
为1-2^2+1*2=6，两者相减为-1；
3.Kiana只取1次寿司，且只取第2个寿司，即她取寿司的情况为{[2,2]}，这样获得的总美味度为-10，花费的总钱
数为1-3^2+1*3=12，两者相减为-22；
4.Kiana只取1次寿司，且只取第3个寿司，即她取寿司的情况为{[3,3]}，这样获得的总美味度为15，花费的总钱数
为1*2^2+1*2=6，两者相减为9；
5.Kiana只取1次寿司，且取第1,2个寿司，即她取寿司的情况为{[1,2]}，这样获得的总美味度为5+(-10)+(-10)=-1
5，花费的总钱数为(1-2^2+1*2)+(1-3^2+1*3)=18，两者相减为-33；
6.Kiana只取1次寿司，且取第2,3个寿司，即她取寿司的情况为{[2,3]}，这样获得的总美味度为(-10)+15+15=20，
花费的总钱数为(1-2^2+1*2)+(1*3^2+1*3)=18，两者相减为2；
7.Kiana只取1次寿司，且取第1,2,3个寿司，即她取寿司的情况为{[1,3]}，这样获得的总美味度为5+(-10)+15+(-1
0)+15+15=30，花费的总钱数为(1*2^2+2*2)+(1*3^2+1*3)=20，两者相减为10。
8.Kiana取2次寿司，第一次取第1个寿司，第二次取第2个寿司，即她取寿司的情况为{[1,1],[2,2]}，这样获得的
总美味度为5+(-10)=-5，花费的总钱数为(1*2^2+1*2)+(1*3^2+1*3)=18，两者相减为-23；
9.Kiana取2次寿司，第一次取第1个寿司，第二次取第3个寿司，即她取寿司的情况为{[1,1],[3,3]}，这样获得的
总美味度为5+15=20，花费的总钱数为1*2^2+2*2=8，两者相减为12；
10.Kiana取2次寿司，第一次取第2个寿司，第二次取第3个寿司，即她取寿司的情况为{[2,2],[3,3]}，这样获得的
总美味度为(-10)+15=5，花费的总钱数为(1*2^2+1*2)+(1*3^2+1*3)=18，两者相减为-13；
11.Kiana取2次寿司，第一次取第1,2个寿司，第二次取第3个寿司，即她取寿司的情况为{[1,2],[3,3]}，这样获得
的总美味度为5+(-10)+(-10)+15=0，花费的总钱数为(1*2^2+2*2)+(1*3^2+1*3)=20，两者相减为-20；
12.Kiana取2次寿司，第一次取第1个寿司，第二次取第2,3个寿司，即她取寿司的情况为{[1,1],[2,3]}，这样获得
的总美味度为5+(-10)+15+15=25，花费的总钱数为(1-22+2-2)+(1-32+1-3)=20，两者相减为5；
13.Kiana取2次寿司，第一次取第1,2个寿司，第二次取第2,3个寿司，即她取寿司的情况为{[1,2],[2,3]}，这样获
得的总美味度为5+(-10)+15+(-10)+15=15，花费的总钱数为(1*2^2+2*2)+(1*3^2+1*3)=20，两者相减为-5；
14.Kiana取3次寿司，第一次取第1个寿司，第二次取第2个寿司，第三次取第3个寿司，即她取寿司的情况为{[1,1]
,[2,2],[3,3]}，这样获得的总美味度为5+(-10)+15=10，花费的总钱数为(1*2^2+2*2)+(1*3^2+1*3)=20，两者相减
为-10。
所以Kiana会选择方案9，这时她获得的总美味度减去花费的总钱数的值最大为12。

HINT

 

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

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挺简单的最大权闭合子图模型，我怎么就没有看出来呢？

首先将d[][]看成一个右上三角矩阵，那么如果d[i][j]有贡献，那么d[i+1][j]和d[i][j-1]都必然有贡献。

考虑付费情况，每个位置建一个点i‘，d[i][j]向i‘和j‘连边，i‘，j‘ 向T连各自费用的边。对于$mx^2$的部分，对每个编号再建一个新点bel，i‘向bel[a[i]]连边。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
#define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
using namespace std;

const int N=30100,M=2000100,inf=0x3f3f3f3f;
int to[M],nxt[M],f[M],h[N],q[M],d[N],mp[110][110],id[110][110],bel[1010];
int n,m,S,T,ans,cnt=1,tot,a[N],vis[1010];

void add(int u,int v,int w){
    to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; f[cnt]=w; h[u]=cnt;
    to[++cnt]=u; nxt[cnt]=h[v]; f[cnt]=0; h[v]=cnt;
}

bool bfs(){
    memset(d,0,sizeof(d)); q[1]=S; d[S]=1;
    for (int st=0,ed=1; st!=ed; ){
        int x=q[++st];
        For(i,x) if (!d[k=to[i]] && f[i])
            d[k]=d[x]+1,q[++ed]=k;
    }
    return d[T];
}

int dfs(int x,int lim){
    if (x==T) return lim;
    int c=0;
    For(i,x) if (f[i] && d[k=to[i]]==d[x]+1){
        int t=dfs(k,min(f[i],lim-c));
        c+=t; f[i]-=t; f[i^1]+=t;
        if (c==lim) return lim;
    }
    if (!c) d[x]=-1;
    return c;
}

int dinic(){ int res=0; while (bfs()) res+=dfs(S,inf); return res;}

void build(){
    S=0;
    rep(i,1,n) rep(j,i,n) id[i][j]=++tot;
    rep(i,1,n) if (!vis[a[i]]) vis[a[i]]=1,bel[a[i]]=++tot;
    T=tot+n+1;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    rep(i,1,n) if (!vis[a[i]]) vis[a[i]]=1,add(bel[a[i]],T,m*a[i]*a[i]);
    rep(i,1,n) add(tot+i,bel[a[i]],inf),add(tot+i,T,a[i]);
    rep(i,1,n) rep(j,i,n){
        add(id[i][j],tot+i,inf),add(id[i][j],tot+j,inf);
        if (mp[i][j]>0) ans+=mp[i][j],add(S,id[i][j],mp[i][j]);
            else if (mp[i][j]<0) add(id[i][j],T,-mp[i][j]);
        if (i!=j) add(id[i][j],id[i+1][j],inf),add(id[i][j],id[i][j-1],inf);
    }
}

int main(){
    freopen("sushi.in","r",stdin);
    freopen("sushi.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
    rep(i,1,n) rep(j,i,n) scanf("%d",&mp[i][j]);
    build(); printf("%d\n",ans-dinic());
    return 0;
}