[六省联考2017]寿司餐厅（最小割）

Posted 2022-11-14 chtholly

题意

题目

思路

由得到的权值不重复可以看出这是一道最大权闭合子图问题 （反正我是没看出来），即最小割

可以看出，如果得到了权值\(d_l,r\)，可以且必须得到权值\(d_x,y,(l\leq x \leq y\leq r)\)，必须要花费\([l,r]\)这一区间的代价，于是可以得到建图方法

将一个区间看做一个点

1. \(d_l,r>0\)，\(ans\) \(+=d_l,r\)，\(S\)向它连边，边权为\(d_l,r\)，割掉这条边表示不选择这个值，产生\(d_l,r\)的代价

2. \(d_l,r\leq 0\)，它向\(T\)连边，边权为\(-d_l,r\)，割掉这条边表示选择这个值，会产生\(-d_l,r\)的代价

3. 每个区间向它包含的小区间连长度为INF的边，和上面连的边一起表示要么选择放弃正的权值，要么选择负的权值；优化：显然边会重复，区间\([l,r]\)只用向\([l+1,r]\)和\([l,r-1]\)连边即可

4. 每个区间向它所包含的所有寿司编号连边，权值为INF，所有的寿司编号向\(T\)连边，权值为\(a[i]\)，表示选择了这个区间的正值就得付出\(a[i]\)的代价；优化：也有重复的连边，\([l,r]\)只用向\(l\)和\(r\)连边即可

5. 每个编号\(i\)向其代号\(a[i]\)连权值为INF的边，代号\(a[i]\)向\(T\)连权值为\(m*a[i]*a[i]\)的边，原理同上

此时的最小割即为花费的代价，\(ans=ans-dinic()\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 50005
#define INF 100000000
using namespace std;
int n,m,s,t,dep[N];
int a[N];
bool vis[N];

struct Edge

    int next,to,flow;
edge[N*6];int head[N],cur[N],cnt=1;
inline void add_edge(int from,int to,int flow)

    edge[++cnt].next=head[from];
    edge[cnt].to=to;
    edge[cnt].flow=flow;
    head[from]=cnt;

void add(int from,int to,int flow)

    add_edge(from,to,flow);
    add_edge(to,from,0);


template <class T>
void read(T &x)

    char c;int sign=1;
    while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48; x*=sign;


int get_id(int i,int j) return (i-1)*n+j;
bool bfs()

    queue<int> q;
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    q.push(s); dep[s]=1;
    while(!q.empty())
    
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
        
            int v=edge[i].to;
            if(edge[i].flow<=0||dep[v]) continue;
            dep[v]=dep[u]+1;
            q.push(v);
            if(v==t) return true;
        
    
    return false;

int dfs(int rt,int rest)

    if(rt==t) return rest;
    int used=0;
    for(int i=cur[rt];i&&used<rest;i=edge[i].next)//used<rest必须写 
    
        cur[rt]=i;
        int v=edge[i].to;
        if(dep[v]==dep[rt]+1&&edge[i].flow>0)
        
            int k=dfs(v,min(edge[i].flow,rest-used));
            if(!k) dep[v]=0;continue;
            edge[i].flow-=k;
            edge[i^1].flow+=k;
            used+=k;
        
    
    return used;

int dinic()

    int ret=0;
    while(bfs()) ret+=dfs(s,INF);
    return ret;

int main()

//  freopen("sushi.in","r",stdin);
//  freopen("sushi.out","w",stdout);
    int ans=0;
    read(n);read(m);
    s=0;t=N-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    
        read(a[i]);
        if(!vis[a[i]]) add(n*(n+1)+a[i],t,m*a[i]*a[i]);
        vis[a[i]]=1;
        add(n*n+i,n*(n+1)+a[i],INF);
        add(n*n+i,t,a[i]);
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    
        for(int j=1;j<=n-i+1;++j)
        
            int b; read(b);
            if(b>=0)
            
                ans+=b;
                add(s,get_id(i,i+j-1),b);
            
            else add(get_id(i,i+j-1),t,-b);
        
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    
        for(int j=i;j<=n;++j)
        
            if(i==j)
            
                add(get_id(i,j),n*n+i,INF);
                continue;
            
            add(get_id(i,j),get_id(i+1,j),INF);
            add(get_id(i,j),get_id(i,j-1),INF);
            add(get_id(i,j),n*n+i,INF);
            add(get_id(i,j),n*n+j,INF);
        
    
    cout<<ans-dinic();
    return 0;