[HEOI2016/TJOI2016]求和

Posted 2020-10-28 蒟蒻JHY

Discription

在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:

S(i, j)表示第二类斯特林数，递推公式为:

S(i, j) = j ? S(i ? 1, j) + S(i ? 1, j ? 1), 1 <= j <= i ? 1。

边界条件为：S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i)

你能帮帮他吗?

Input

输入只有一个正整数

Output

 输出f(n)。

由于结果会很大，输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可。

1 ≤ n ≤ 100000

Sample Input

3

Sample Output

87

 

 

   我们知道第二类斯特林数和排列数(下降幂)组合在一起可以表示n^k，又因为排列等于组合乘上一个阶乘，于是我们就可以开开心心的二项式反演，得到一个某一行(其实也可以很多行，鉴于这个式子的特殊性质，我们可以把不同行的同一列合并)某一列的斯特林数的表达式。

    具体的说，S(k,n) = Σ (i^k / i!) * ((-1)^(n-i) / (n-i)!)     [具体推导就不写了，就是一个二项式反演]。

这个式子的特殊性质太多了，首先它是一个卷积的形式，所以我们可以直接用NTT 在 N log N 的时间求出某一行的所有第二类斯特林数分别是多少；

并且只有 i^k 项和行数有关，所以同一列很好合并，于是这个题就做完了2333。

 

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=330005;
const int ha=998244353;
const int root=3,inv=ha/3+1;
int a[maxn],b[maxn],jc[maxn];
int r[maxn],N,M,n,INV,l;

inline int add(int x,int y){
	x+=y;
	return x>=ha?x-ha:x;
}

inline int ksm(int x,int y){
	int an=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*(ll)x%ha) if(y&1) an=an*(ll)x%ha;
	return an;
}

inline void NTT(int *c,const int f){
	for(int i=0;i<N;i++) if(i<r[i]) swap(c[i],c[r[i]]);
	
	for(int i=1;i<N;i<<=1){
		int omega=ksm(f==1?root:inv,(ha-1)/(i<<1));
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p){
			int now=1;
			for(int k=0;k<i;k++,now=now*(ll)omega%ha){
				int x=c[j+k],y=c[j+k+i]*(ll)now%ha;
				c[j+k]=add(x,y);
				c[j+k+i]=add(x,ha-y);
			}
		}
	}
	
	if(f==-1) for(int i=0;i<N;i++) c[i]=c[i]*(ll)INV%ha;
}

inline void init(){
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*(ll)i%ha;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		if(!i) a[i]=1;
		else if(i==1) a[i]=n+1;
		else a[i]=add(ksm(i,n+1),ha-1)*(ll)ksm(add(i,ha-1)*(ll)jc[i]%ha,ha-2)%ha;
		if(i&1) b[i]=ha-ksm(jc[i],ha-2);
		else b[i]=ksm(jc[i],ha-2);
	}
	
	M=n<<1;
	for(N=1;N<=M;N<<=1) l++;
	for(int i=0;i<N;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
}

inline void solve(){
	NTT(a,1),NTT(b,1);
	for(int i=0;i<N;i++) a[i]=a[i]*(ll)b[i]%ha;
	INV=ksm(N,ha-2),NTT(a,-1);
}

inline void output(){
	int ans=0,base=1;
	for(int i=0;i<=n;i++,base=add(base,base)) ans=add(ans,a[i]*(ll)base%ha*(ll)jc[i]%ha);
	printf("%d\n",ans);
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	init();
	solve();
	output();
	return 0;
}