P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和

Posted 2021-11-23 wyxdrqc

首先,我们需要知道第二类斯特林数组的组合意义(即容斥)

### $S^m_n = \frac{1}{m!} \sum_{k = 0}^{m}(-1)^k*C^k_m*(m - k)^n$
然后,题目中让我们求
### $f(n) = \sum_{i = 0}^n\sum_{j = i}^nS^j_i*2^j*j!$
我们直接将$S^j_i$展开成上述的组合意义,同时$j$从$0$开始枚举（因为当$m > n$时,$S^m_n = 0$）

则有:
### $f(n) = \sum_{i = 0}^n\sum_{j = 0}^n\frac{1}{j!}\sum_{k = 0}^j(-1)^k*C^k_j *(j - k)^i * 2^j*j!$
我们发现$j!$可以约去,同时将$C^k_j$展开，$2^j$提到前边:
### $=\sum_{i = 0}^n\sum_{j = 0}^n2^j\sum_{k = 0}^j(-1)^k * \frac{j!}{k! * (j - k)!}*(j - k) ^ i$

我们再讲$j!$提到前边,同时底数相同的化一下

### $=\sum_{i= 0}^n\sum_{j = 0}^n2^j * j!\sum_{k= 0}^j \frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j - k)^i}{(j - k)!}$
我们将第一个$\sum$化到后面

### $\sum_{j = 0}^n2^j*j!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{\sum_{i = 0}^n(j - k)^i}{(j- k)!}$

根据等比数列求和公式

### $\sum_{i = 0}^n(j - k)^i = \frac{1 - (j - k)^{n + 1}}{1 - (j - k)}$
我们设

### $f(i) = \frac{(-1)^i}{i!},g(i) = \frac{1 - i^{n + 1}}{(1 - i)*i!}$
那么则有
### 上式$=\sum_{j = 0}^n2^jj!\sum_{k = 0}^j f(k)g(j - k)$
发现,这是个卷积啊,直接上NTT就好了(虽然我不会(tao)