P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和（第二类斯特林数，ntt）

Posted 2022-11-10 azznaz

题面:https://www.luogu.org/problem/P4091

题解:\[\beginarrayl
f(n) = \sum\limits_i = 0^n \sum\limits_j = 0^i \rmS(i,j) \cdot 2^\rmj \cdot j! \\
 = \sum\limits_i = 0^n \sum\limits_j = 0^n \rmS(i,j) \cdot 2^\rmj \cdot j!
\endarray\]

把公式\[S(n,m) = \frac\sum\limits_i = 0^m ( - 1)^i\rm\cdotC_m^i \rm\cdot(m - i)^nm!\]带进去

则\[\rm\backslash begin\ array\ \ l\ n\backslash begin\ array\ \ *\ 20\ \ l\ \ f(n) = \sum\limits_i = 0^n \sum\limits_j = 0^n \rmS(i,j) \cdot 2^\rmj \cdot j!  = \sum\limits_i = 0^n \sum\limits_j = 0^n \sum\limits_k = 0^j \frac( - 1)^kk! \cdot \frac(j - k)^i(j - k)!  \cdot \rm2^\rmj\rm\cdotj! \rmn\ = \sum \rm\_j = \rm\^n\rm \ 2^j\rm\cdotj!\sum \rm\_k = 0\rm\^j\rm \ \sum \rm\_i = 0\rm\^n\rm \ \frac( - 1)^kk! \cdot \frac(j - k)^i(j - k)! = \sum \rm\_j = \rm\^n\rm \ 2^j\rm\cdotj!\sum \rm\_k = 0\rm\^j\rm \ \backslash frac\ \ \ ( - 1)\rm\^\ \^k\rm\ \ \ \ k! \cdot \rm\ \frac\sum\limits_i = 0^n (j - k)^i (j - k)!\rm\  \  \  \  \ n\backslash end\ array\ \backslash \backslash  = \sum \rm\_j = \rm\^n\rm \ 2^j\rm\cdotj!\sum \rm\_k = 0\rm\^j\rm \ \backslash frac\ \ \ ( - 1)\rm\^\ \^k\rm\ \ \ \ k! \cdot \rm\ \frac(j - k)^n + 1 - 1(j - k)! \cdot (j - k - 1)\rm\ n\backslash end\ array\ \]

令\[\beginarrayl
h(x) = \frac( - 1)^xx!\\
g(x) = \fracx^n + 1 - 1x!\rm\cdot(x - 1)
\endarray\]

后面的就是这两个的卷积，直接上ntt就行了

#include<bits/stdc++.h>
#define ms(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define sws ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e5+5;
const double pi=acos(-1.0);
const ll mod=998244353;///通常情况下的模数,
const ll g=3;///模数的原根998244353,1004535809,469762049
ll qpow(ll a,ll n,ll p)
    ll ans=1;
    while(n)
        if(n&1) ans=ans*a%p;
        n>>=1;
        a=a*a%p;
    
    return ans;

int rev[maxn];
void ntt(ll a[],int n,int len,int pd)
    rev[0]=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1 | ((i&1)<<(len-1)));
        if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    
    for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
        ll wn=qpow(g,(mod-1)/(mid*2),mod);///原根代替单位根
        if(pd==-1) wn=qpow(wn,mod-2,mod);///逆变换则改成逆元
        for(int j=0;j<n;j+=2*mid)
            ll w=1;
            for(int k=0;k<mid;k++)
                ll x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;
                a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
                w=w*wn%mod;
            
        
    
    if(pd==-1)
        ll inv=qpow(n,mod-2,mod);
        for(int i=0;i<n;i++)
            a[i]=a[i]*inv%mod;

        
    

ll a[maxn],b[maxn],c[maxn];
void solve(int n,int m)
    int len=0,up=1;
    while(up<=n+m) up<<=1,len++;
    ntt(a,up,len,1);
    ntt(b,up,len,1);
    for(int i=0;i<up;i++) c[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    ntt(c,up,len,-1);

ll fa[maxn];
int main()
    int n,m;
    sws;
    cin>>n;
    fa[0]=1;
    a[0]=1;
    b[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=1ll*fa[i-1]*i%mod;
        int t=(i&1)==1?-1:1;
        a[i]=(t*qpow(fa[i],mod-2,mod)+mod)%mod;
        if(i==1) b[1]=n+1;
        else 
            b[i]=(qpow(i,n+1,mod)-1+mod)%mod*qpow(1ll*(i-1)*fa[i]%mod,mod-2,mod)%mod;
        
    
    solve(n,n);
    ll ans=0;
    for(ll i=0;i<=n;i++)
        ans=(ans+qpow(2,i,mod)*fa[i]%mod*c[i]%mod)%mod;
    
    cout<<ans<<endl;