[HDU2829] Lawrence [四边形不等式优化dp]

Posted 2020-10-27 Orion545

题面：

传送门

思路：

依然是一道很明显的区间dp

我们设$dp\left[i\right]\left[j\right]$表示前$j$个节点分成了$i$块的最小花费，$w\left[i\right]\left[j\right]$表示把闭区间$\left[i,j\right]$放在一起产生的价值

那么转移就比较明显了：

$dp\left[i\right]\left[j\right]=min\left(dp\left[i-1\right]\left[k-1\right]+w\left[k\right]\left[j\right]\right)$

$w$可以用前缀和维护以后$O\left(1\right)$计算，因为：

$w\left[i\right]\left[j\right]=\left(\left(\sum_{k=i}^{j}k\right)^2-\sum_{k=i}^{j}k^2\right)\div 2$

这样我们得到了一个复杂度为$O\left(n^2 m\right)$的dp，但是解决这道题还不够

 

把w函数的表达式展开可以发现，w满足四边形不等式，因此把里层枚举k的那部分优化掉就好了

 

Code：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #define ll long long
 6 #define inf (1ll<<60ll)
 7 using namespace std;
 8 inline ll read(){
 9     ll re=0,flag=1;char ch=getchar();
10     while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){
11         if(ch==‘-‘) flag=-1;
12         ch=getchar();
13     }
14     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) re=(re<<1)+(re<<3)+ch-‘0‘,ch=getchar();
15     return re*flag;
16 }
17 ll n,m,a[1010],sum[1010],sqr[1010],s[1010][1010],dp[1010][1010];
18 ll w(ll l,ll r){
19     return ((sum[r]-sum[l-1])*(sum[r]-sum[l-1])-(sqr[r]-sqr[l-1]))/2ll;
20 }
21 int main(){
22     ll i,j,k,tmp;
23     while((n=read())&&(m=read())){
24         m++;
25         for(i=1;i<=n;i++)
26             a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+a[i],sqr[i]=sqr[i-1]+a[i]*a[i];
27         for(i=1;i<=n;i++) dp[1][i]=w(1,i),s[1][i]=1;
28         for(i=2;i<=m;i++){
29             s[i][n+1]=n;
30             for(j=n;j>i;j--){
31                 dp[i][j]=inf;
32                 for(k=s[i-1][j];k<=s[i][j+1];k++){
33                     if((tmp=dp[i-1][k-1]+w(k,j))<dp[i][j]){
34                         dp[i][j]=tmp;s[i][j]=k;
35                     }
36                 }
37             }
38         }
39         printf("%lld\n",dp[m][n]);
40     }
41 }