bzoj 4827: [Hnoi2017]礼物FFT

Posted 2020-10-26 lokiii

记得FFT要开大数组！！开到快MLE的那种！！我这个就是例子TAT，5e5都RE了
在这题上花的时间太多了，还是FFT不太熟练。
首先看70分的n方做法：从0下标开始存，先n--，把a数组倍增，然后枚举a数组的起点st（相当于环上a的st和b的0相匹配），设x为增量
\[ \sum_{i=0}^{n}(a[i+s]+x-b[i])^2 \]
\[ =\sum_{i=0}^{n}(a[i+s]-b[i])^2+x^2-2*x*(a[i+s]-b[i]) \]
\[ =\sum_{i=0}^{n}(a[i+s]-b[i])^2+n*x^2-x*2*\sum_{i=0}^{n}(a[i+s]-b[i]) \]
设
\[ a=n,b=2*\sum_{i=0}^{n}(a[i+s]-b[i]),c=\sum_{i=0}^{n}(a[i+s]-b[i])^2 \]
显然这是一个开口向上的二次函数，所以可以用二次函数求顶点公式求。（注意！不能直接求y，因为x是整数，但是求顶点公式求出来的不一定是，我简单粗暴的把floor和ceil取了个min）
这个暴力在考场上性价比非常高，大概20min就能得70分；
然后正解，观察上面式子，发现设：
\[ sa=\sum_{i=0}^{n}a[i],saf=\sum_{i=0}^{n}a[i]*a[i] \]
\[ sb=\sum_{i=0}^{n}b[i],sbf=\sum_{i=0}^{n}b[i]*b[i] \]
那么：
\[ a=n,b=2*(sa-sb),c=saf+sab-2*\sum_{i=0}^{n}(a[i+s]*b[i]) \]
现在只有设\( c[i]=\sum_{i=0}^{n}(a[i+s]*b[i]) \)，不是常数，考虑怎么把它化成卷积形式然后FFT预处理。
设：
\[ z[i]=\sum_{j=0}^{n-i}x[j]y[i+j],f[i]=\sum_{j=0}^{n-i}y[j]x[i+j] \]
\[ c[i]=z[i]+f[n-i+1] \]
设nx为x数组反过来，设ny为y数组反过来，然后随便推一推就会发现z和f变成这样：
\[ z[n-i]=\sum_{j=0}^{n-i}x[i-j]ny[j],f[n-i]=\sum_{j=0}^{n-i}y[i-j]nx[j] \]
然后FFT预处理即可；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1000005;
int re[N],lm,bt;
long long n,m,a[N],b[N],sa,saf,sb,sbf,c[N],x1,x2,ans=1e18;
struct cd
{
    double r,i;
    cd(double R=0,double I=0)
    {
        r=R,i=I;
    }
    cd operator + (const cd &a) const
    {
        return cd(r+a.r,i+a.i);
    }
    cd operator - (const cd &a) const
    {
        return cd(r-a.r,i-a.i);
    }
    cd operator * (const cd &a) const
    {
        return cd(r*a.r-i*a.i,a.r*i+a.i*r);
    }
}x[N],y[N],nx[N],ny[N];
int read()
{
    int r=0,f=1;
    char p=getchar();
    while(p>‘9‘||p<‘0‘)
    {
        if(p==‘-‘)
            f=-1;
        p=getchar();
    }
    while(p>=‘0‘&&p<=‘9‘)
    {
        r=r*10+p-48;
        p=getchar();
    }
    return r*f;
}
void dft(cd a[],int f)
{
    for(int i=0;i<lm;i++)
        if(i<re[i])
            swap(a[i],a[re[i]]);
    for(int i=1;i<lm;i<<=1)
    {
        cd wi=cd(cos(M_PI/i),f*sin(M_PI/i));
        for(int k=0;k<lm;k+=(i<<1))
        {
            cd w=cd(1,0),x,y;
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                x=a[k+j];
                y=a[i+j+k]*w;
                a[k+j]=x+y;
                a[i+j+k]=x-y;
                w=w*wi;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        for(int i=0;i<lm;i++)
            a[i].r/=lm;
    }
}
void fft(cd a[],cd b[])
{
    dft(a,1);
    dft(b,1);
    for(int i=0;i<lm;i++)
        a[i]=a[i]*b[i];
    dft(a,-1);
}
int main()
{
    n=read()-1,m=read();
    for(int i=0;i<=n;i++)
        a[i]=read(),sa+=a[i],saf+=a[i]*a[i];
    for(int i=0;i<=n;i++)
        b[i]=read(),sb+=b[i],sbf+=b[i]*b[i];
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        x[i].r=b[i],y[i].r=a[i];
        nx[i].r=b[n-i],ny[i].r=a[n-i];
    }
    for(lm=1,bt=0;lm<=2*n;bt++,lm<<=1);
    for(int i=0;i<lm;i++)
        re[i]=(re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1));
    fft(x,ny);
    fft(y,nx);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        c[i]=(int)(1.0*(x[n-i].r+y[i-1].r)+0.5);//,cout<<c[i]<<endl;
    x1=0-floor(1.0*(sa-sb)/(n+1)),x2=0-ceil(1.0*(sa-sb)/(n+1));//cout<<x1<<" "<<x2<<endl;
    for(int i=0;i<=(n+1);i++)
    {
        ans=min(ans,min((n+1)*x1*x1+2*(sa-sb)*x1+saf+sbf-2*c[i],(n+1)*x2*x2+2*(sa-sb)*x2+saf+sbf-2*c[i]));
        // cout<<sa<<" "<<sb<<" "<<saf<<" "<<sbf<<" "<<x1<<" "<<x2<<" "<<c[i]<<" "<<ans<<endl;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}