title: 博弈论 斯坦福game theory stanford week 2-0
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博弈论 斯坦福game theory stanford week 2-0
混合策略和纳什均衡
一个例子
我们从一个例子说起，我们说美国人为了保护自己的利益，在索马里设卡安检，我们不妨考虑这样的博弈问题，说在索马里有很多的路段，安检者和恐怖袭击者是博弈者。如果袭击和安检发生在同一地点，那么袭击者会受到损失，如果不是，袭击者会得到好处。对于检查者问题正好相反。
但是由于没有相应的情报支持，两者的决策只能依靠随机进行，并不会产生固定的决策，这样的策略称为混合策略。
混合策略，
Kv
就像上面的例子一样，我们考虑这个决策问题：
两个人的利益看起来并不能通过固定的选择方式进行分割，只能通过随机的选择，这样就是混合策略。
下面我们定义下这种决策，
- 决策：
，决策是行动
的一个随机变量 - 纯策略： 在概率中只有一个行为可以采用。
- 混合策略： 在我们的策略中，可以采用多种策略。
在这些策略中，所有的行为称为策略的支撑。
我们还要定义所有的策略
我们还要定义所有策略的收益
在上述的情况下，我们可以对我们的收益和支出进行概率性的讨论。
我们可以定义期望的收益如下：
第一行的公式是说，当前的收益是所有的行为带来的利益的加权平均值，第二行说我们可以使用贝叶斯公式来计算每一个的可能性。
最优响应和纳什均衡
借助最优相应的概率，我们将上述的概率化思想融入进来，
得到一个定理：
每一个完整的博弈都有一个纳什均衡
完整的博弈的定义是什么：只要一个博弈，拥有一定的数量的博弈者，有着一定的行为，有着完整的收益矩阵，那么就是一个完整的博弈。
做一个说明：我们之前说的没有纳什均衡是说没有纯粹的纳什均衡，但是它可以有混合的纳什均衡。
比如我们前面提到的例子，如下图：
我们的混合的纳什均衡就是：
这个样子的
要强调混合的概率是随着不同的问题决定的，那么混合的概率是如何决定的呢，我们可以认为当所有的博弈者都不愿意再改变他们的概率的时候，就陷入了纳什均衡。
纳什均衡的计算
一个例子
通过这样的一个示例我们讨论纳什均衡的计算方法：
我们不得不说再一般的条件下，纳什均衡是十分难以计算的，不过如果你合一对支持进行猜测的情况下，我们可以相对容易的计算纳什均衡。
再上图情况下，我们假设让一个人选b的概率为
，选F的概率就是
再这个情况下，另外一个决策者用混合策略来考虑这个问题，他需要保证对方这两种博弈行为对自己来说是一种平衡的收益，因为只有这样，另外一个博弈者的收益才不会因为对方的选择而发生改变。因此我们采用如下的策略列出方程:
使用混合策略的原因
- 通过随机性来迷惑你的对手
- 通过随机性来应对不确定性
多方博弈问题
两个例子
线性补充问题（linear complementarity problem）
支持计数方法（support enumeration method）
PPAD问题
美国加州大学伯克利分校的克里斯托斯·帕帕迪米特里欧(Christos Papadimitriou) 教授定义了PPAD（polynomial parity arguments on directed graphs，有向图的多项式校验参数）计算复杂类来描述经济学中的计算问题。并与其合作者一起证明了在4 人及以上的博弈中，纳什均衡的计算是属于PPAD-Complete 的。
通过上述的图片可以看到，PPAD问题是一类NP问题。
简要的发展历史
- 1928：von 提出两个人的零和博弈的均衡问题
- 1950：nash 再所有博弈种类提出多人博弈的均衡问题
lemke-howson 算法
LCP问题，线性补充方程问题
其中代表了第i个人使用方案k的概率。
Ai代表了每一个博弈者的行为，那么
就表达当博弈者1采用j策略的平均获得。
代表了纳什均衡中的获得，从而
代表了两者的差距
好吧这里我们先跳过去。
~~
纳什均衡的用例
点球问题
我们可以将点球问题当作是一个博弈的问题，对于一个点球来说，守门员扑球的方向和球员踢球的方向是一种博弈，如果两者方向相同，那么球有更大的几率被扑出。
问题简化成上述图片
上述问题是我们已经讨论过的了，概率是0.5 0.5，不过如果问题编程了这个样子呢，如图：
我们将其中一个，也就是我们认为踢球者的右脚水平比较差，可能不会百分百进球，那么博弈的纳什均衡会发生什么呢？
我，我们发现纳什均衡点发生了移动，守门员倾向于扑向右边。而球员倾向于扑向左边。
分别是3/7 4/7 和4/7 3/7