基于DP+位运算的RMQ算法

Posted 2020-10-26 ckxkexing

来源：http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/38405063

RMQ算法，是一个快速求区间最值的离线算法，预处理时间复杂度O（n*log(n)），查询O(1)，所以是一个很快速的算法，当然这个问题用线段树同样能够解决。

 

问题：给出n个数ai，让你快速查询某个区间的的最值。

 

算法分类：DP+位运算

 

算法分析：这个算法就是基于DP和位运算符，我们用dp【i 】【j】表示从第 i 位开始，到第 i + 2^j -1 位的最大值或者最小值。

那么我求dp【i】【j】的时候可以把它分成两部分，第一部分从 i 到 i + 2 ^( j-1 ) - 1 ，第二部分从 i + 2 ^( j-1 )  到 i + 2^j - 1 次方，其实我们知道二进制数后一个是前一个的二倍，那么可以把 i ---  i + 2^j  这个区间 通过2^(j-1) 分成相等的两部分， 那么转移方程很容易就写出来了。

转移方程： mm [ i ] [ j ] = max ( mm [ i ] [ j - 1 ] , mm [ i + ( 1 << ( j - 1 ) ) ] [ j - 1 ] );

代码：

 

void rmq_isit(bool ok)  
{  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        mm[i][0]=mi[i][0]=a[i];  
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)  
    {  
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)  
        {  
            if(ok)  
                mm[i][j]=max(mm[i][j-1],mm[i+(1<<(j-1))][j-1]);  
            else  
                mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);  
        }  
  
    }  
}  

那么查询的时候对于任意一个区间 l -- r ，我们同样可以得到区间差值 len = （r - l + 1）。

 

那么我们这一用小于2^k<=len，的 k 把区间分成可以交叉的两部分l 到 l+ (1<<k) -1, 到 r -(1<<k)+1 到 r 的两部分，很easy的求解了。

查询代码：

int rmq(int l,int r)  
{  
    int k=0;  
    while((1<<(k+1))<=r-l+1)  
        k++;  
    //printf("%d %d %d %d\n",l,l+(1<<k),r-(1<<k)+1,r-(1<<k)+1+(1<<k));  
    int ans1=max(mm[l][k],mm[r-(1<<k)+1][k]);  
    int ans2=min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]);  
    return ans1-ans2;  
}  

例题： POJ Balanced Lineup

ac代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn =  50008;
int a[maxn],mx[maxn][30],mn[maxn][30];
int n,m;

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);//c++ 关同步 ac
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        mx[i][0]=mn[i][0]=a[i];
    }   
    for(int j=1; (1<<j)<=n; j++)
    {
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
        {
            mx[i][j]=max(mx[i][j-1],mx[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            mn[i][j]=min(mn[i][j-1],mn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int le,ri;
        cin>>le>>ri;
        int len = ri-le+1;
        int k=0;
        while((1<<(k+1))<=len)
            k++;
        int ans1=max(mx[le][k],mx[ri-(1<<k)+1][k]);
        int ans2=min(mn[le][k],mn[ri-(1<<k)+1][k]);
        cout<<ans1-ans2<<endl;
    }

    return 0;
}