[HAOI2006]数字序列

Posted 2020-10-25 Z-Y-Y-S

题目描述

现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个数n，接下来n个整数按顺序描述每一项的键值。

输出格式：

第一行一个整数表示最少需要改变多少个数。

第二行一个整数，表示在改变的数最少的情况下，每个数改变的绝对值之和的最小值。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4
5 2 3 5

输出样例#1： 复制

1
4

说明

【数据范围】

90%的数据n<=6000。

100%的数据n<=35000。

保证所有数列是随机的。

一份讲解的链接

先将数组每一位a[i]减i

这样单调上升就变成了不下降

在给第n+1位加一个正无穷的值(可以做所有子串的结尾，用于统计第2问的答案)

第一问：求最长不下降串长L

答案就是n-L

第二问：首先令f[i]表示1～i的最长不下降长度，g[i]为将1～i变为不下降的代价

对于一对(i,j)且f[i]=f[j]+1

设w(i,j)为将j+1~i变为单调不下降的最小代价

有一个结论：

找到一个断点k

j+1~k全部变成a[j],k+1~i全部变成a[i]

这样一定可以找到这个最小代价

证明见链接

这个复杂度很玄学，最坏O(n^3)，但数据是随机的，所以远远达不到

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long lol;
 8 struct Node
 9 {
10   int next,to;
11 }edge[100001];
12 int L,n,head[40001],num,Min[40001],a[40001];
13 lol s1[40001],s2[40001],g[40001],f[40001];
14 void add(int u,int v)
15 {
16   num++;
17   edge[num].next=head[u];
18   head[u]=num;
19   edge[num].to=v;
20 }
21 int find(int x)
22 {
23   int l=0,r=L,as=0;
24   while (l<=r)
25     {
26       int mid=(l+r)/2;
27       if (Min[mid]<=x) as=mid,l=mid+1;
28       else r=mid-1;
29     }
30   return as;
31 }
32 int main()
33 {int i,j,k;
34   cin>>n;
35   for (i=1;i<=n;i++)
36     {
37       scanf("%d",&a[i]);
38       a[i]-=i;
39     }
40   ++n;
41   a[n]=(1<<30);
42   memset(Min,127,sizeof(Min));
43   Min[0]=-1<<30;L=0;
44   for (i=1;i<=n;i++)
45     {
46       int t=find(a[i]);
47       f[i]=t+1;
48       L=max(L,t+1);
49       Min[t+1]=min(Min[t+1],a[i]);
50     }
51   cout<<n-L<<endl;
52   for (i=n;i>=0;i--)
53     {
54       add(f[i],i);
55       g[i]=1ll<<60;
56     }
57   a[0]=-1<<30;g[0]=0;
58   for (i=1;i<=n;i++)
59     {
60       for (j=head[f[i]-1];j;j=edge[j].next)
61     {
62       int v=edge[j].to;
63       if (v>i) break;
64       if (a[v]>a[i]) continue;
65       for (k=v;k<=i;k++)
66         s1[k]=abs(a[k]-a[v]),s2[k]=abs(a[k]-a[i]);
67       for (k=v+1;k<=i;k++)
68         s1[k]+=s1[k-1],s2[k]+=s2[k-1];
69       for (k=v;k<i;k++)
70         g[i]=min(g[i],g[v]+s1[k]-s1[v]+s2[i]-s2[k]);
71     }
72     }
73   cout<<g[n];
74 }