[bzoj1049] [HAOI2006]数字序列

Posted 2021-02-09 hbyer

Description

　　现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。

Input

　　第一行包含一个数n，接下来n个整数按顺序描述每一项的键值。n<=35000,保证所有数列是随机的

Output

　　第一行一个整数表示最少需要改变多少个数。 第二行一个整数，表示在改变的数最少的情况下，每个数改变
的绝对值之和的最小值。

Sample Input

4
5 2 3 5

Sample Output

1
4

Solution

第一问令(b[i]=a[i]-i)，然后做一遍最长不下降子序列，设为(s)，那么答案就是(n-s)，证明比较显然。。

第二问不会。。看了题解才知道有神奇结论。。

对于一个区间([l,r])，若要使之单调不降，最优策略必然是这样的形式：设分割点为(k)，那么对于(forall i in [l,k])，(b[i]=b[l])，后面的(b[i]=b[r])。

然后暴力(dp)就好了。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}

const int maxn = 2e5+10;
const int inf = 1e9;

int a[maxn],b[maxn],c[maxn],n,f[maxn],g[maxn],s1[maxn],s2[maxn];

struct BIT {
    int t[maxn];
    void modify(int i,int x) {for(;i<=n;i+=i&-i) t[i]=max(t[i],x);}
    int query(int i,int ans=0) {for(;i;i-=i&-i) ans=max(ans,t[i]);return ans;}
}T;

vector <int > v[maxn];

signed main() {
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),a[i]-=i,b[i]=a[i],c[i]=b[i];
    a[++n]=inf,b[n]=c[n]=a[n];
    sort(c+1,c+n+1);int M=unique(c+1,c+n+1)-c-1;
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=lower_bound(c+1,c+M+1,b[i])-c;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=T.query(b[i])+1,T.modify(b[i],f[i]);
    for(int i=0;i<=n;i++) v[f[i]].push_back(i);
    memset(g,63,sizeof g);g[0]=0;a[0]=-inf;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(vector <int > :: iterator j=v[f[i]-1].begin();j!=v[f[i]-1].end();j++) {
            int x=*j;if(x>i) break;if(a[x]>a[i]) continue;
            for(int k=x;k<=i;k++) s1[k]=abs(a[k]-a[x]),s2[k]=abs(a[k]-a[i]);
            for(int k=x+1;k<=i;k++) s1[k]+=s1[k-1],s2[k]+=s2[k-1];
            for(int k=x;k<i;k++) g[i]=min(g[i],s1[k]-s1[x]+s2[i]-s2[k]+g[x]);
        }
    write(n-f[n]),write(g[n]);
    return 0;
}