BZOJ3669：[NOI2014]魔法森林——题解
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http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3669
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2387
为了得到书法大家的真传，小 E 同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐 士。魔法森林可以被看成一个包含 n 个节点 m 条边的无向图，节点标号为 1,2,3,…,n，边标号为 1,2,3,…,m。初始时小 E 同学在 1 号节点，隐士则住在 n 号节点。小 E 需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。
魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪 就会对其发起攻击。幸运的是，在 1 号节点住着两种守护精灵：A 型守护精灵与 B 型守护精灵。小 E 可以借助它们的力量，达到自己的目的。
只要小 E 带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无 向图中的每一条边 ei 包含两个权值 ai 与 bi 。若身上携带的 A 型守护精灵个数不 少于 ai ，且 B 型守护精灵个数不少于 bi ，这条边上的妖怪就不会对通过这条边 的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向 小 E 发起攻击，他才能成功找到隐士。
由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小 E 想要知道，要能够成功拜访到 隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为 A 型守护精灵的 个数与 B 型守护精灵的个数之和。
（参考洛谷前好几篇题解）
刚开始做的时候是一筹莫展的，但思考一下实际上我们就是找一棵生成树，使得a+b最小。
只是很可惜的是，我们并不能找所谓最小生成树。
但是考虑，我们完全可以固定a的值，添加的边权即为b，这样答案就是a+maxb了。
所以先对边按a排序，然后按照kruskal算法添加边(u,v,b)：
如果u和v之间不连通，那么我们就加这条边。
如果u和v之间连通，那么找到u到v之间的路上b最大的，把他cut掉，然后再加。
每次加边之后检查1和n是否连通，如果连通更新ans=min(ans，a+1到n之间路上b最大的)
显然这么做可以保证对于必须添加的边，我们的b是最小的，那么答案的正确性就是显然的。
关键问题是用什么数据结构维护。
考虑连成的图始终是树，且需要支持连边和删边的操作，且需要（动态的）知道一条路径上最大b，我们选用LCT。
那么边权对于LCT不好维护，我们把边权开成点，即X->Y变成X->Z->Y，其中Z的点权为b，这样就可以维护了。
#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cctype> #include<cstdio> #include<vector> #include<queue> #include<cmath> using namespace std; const int INF=1e9; const int N=2e5+10; const int M=1e5+10; struct node{ int u,v,a,b; }e[M]; int n,m,r,k[N],fa[N],tr[N][2],rev[N],val[N],q[N],num[N]; inline bool cmp(node a,node b){ return a.a<b.a||(a.a==b.a&&a.b<b.b); } inline int read(){ int X=0,w=0;char ch=0; while(!isdigit(ch)){w|=ch==\'-\';ch=getchar();} while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar(); return w?-X:X; } inline bool get(int x){ return tr[fa[x]][1]==x; } inline bool isroot(int x){ if(!fa[x])return 1; return tr[fa[x]][0]!=x&&tr[fa[x]][1]!=x; } inline void upt(int x){ int id=val[tr[x][0]],maxb=e[id].b; if(maxb<e[val[tr[x][1]]].b)id=val[tr[x][1]],maxb=e[id].b; if(maxb<e[num[x]].b)id=num[x],maxb=e[id].b; val[x]=id; } inline void pushrev(int x){ if(!rev[x])return; swap(tr[x][0],tr[x][1]); if(tr[x][0])rev[tr[x][0]]^=1; if(tr[x][1])rev[tr[x][1]]^=1; rev[x]=0; } inline void rotate(int x){ int y=fa[x],z=fa[y],b=tr[y][0]==x?tr[x][1]:tr[x][0]; if(z&&!isroot(y))(tr[z][0]==y?tr[z][0]:tr[z][1])=x; fa[x]=z;fa[y]=x;b?fa[b]=y:0; if(tr[y][0]==x)tr[x][1]=y,tr[y][0]=b; else tr[x][0]=y,tr[y][1]=b; upt(y);upt(x); } inline void splay(int x){ q[r=0]=x; for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])q[++r]=fa[y]; for(int i=r;i>=0;i--)pushrev(q[i]); while(!isroot(x)){ if(!isroot(fa[x])) rotate((get(x)==get(fa[x])?fa[x]:x)); rotate(x); } upt(x); } inline void access(int x){ for(int y=0;x;y=x,x=fa[x]){ splay(x);tr[x][1]=y; if(y)fa[y]=x; } } inline int findroot(int x){ access(x);splay(x); while(pushrev(x),tr[x][0])x=tr[x][0]; splay(x); return x; } inline void makeroot(int x){ access(x);splay(x); rev[x]^=1; } inline void link(int x,int y){ makeroot(x);fa[x]=y; } inline void cut(int x,int y){ makeroot(x);access(y);splay(y); tr[y][0]=0;fa[x]=0; } inline int query(int u,int v){ makeroot(u);access(v);splay(v); return val[v]; } int main(){ n=read();m=read(); for(int i=1;i<=m;i++) e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].a=read(),e[i].b=read(); sort(e+1,e+m+1,cmp); int ans=INF; for(int i=1;i<=m;i++){ int u=e[i].u,v=e[i].v,a=e[i].a,b=e[i].b; if(findroot(u)!=findroot(v)){ num[i+n]=val[i+n]=i; link(u,i+n);link(v,i+n); }else{ int t=query(u,v); if(e[t].b>b){ cut(e[t].u,t+n);cut(e[t].v,t+n); num[i+n]=val[i+n]=i; link(u,i+n);link(v,i+n); } } if(findroot(1)==findroot(n)) ans=min(ans,e[query(1,n)].b+a); } printf("%d\\n",ans==INF?-1:ans); return 0; }
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