BZOJ3669[Noi2014]魔法森林 LCT

Posted 2020-09-16 CQzhangyu

【BZOJ3669】[Noi2014]魔法森林

Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】

32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。
【输出样例2】
-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。

HINT

2<=n<=50,000

0<=m<=100,000

1<=ai ,bi<=50,000

题解：容易想到按ai排序，然后不断往图中加边，然后维护路径上bi的最大值，问题是怎么维护bi的最大值

发现这是一个类似于最小生成树的东西，只不过这里变成了动态的最小生成树（或者森林），解决动态树的问题我们想到用LCT，并且用LCT实现加边和删边都很方便。

但是问题又来了，我们要求的是边权的最小生成树，但这题给的是点权，怎么把边权转化为点权来处理？

答案是对于原有的边（u,v），新建一个点x，x的点权就是（u,v）的边权，然后u,v的点权都是0，然后用LCT维护点权最大的点的编号，在修改的时候就能直接根据编号找到这条原有的边，然后就都好做了

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define isr(A)	(s[s[A].fa].ch[0]!=A&&s[s[A].fa].ch[1]!=A)
using namespace std;
struct node
{
	int ch[2],fa,sm,v,rev;
}s[300010];
struct edge
{
	int px,py,pa,pb;
}p[200010];
int n,m,ans;
bool cmp(edge a,edge b)
{
	return a.pa<b.pa;
}
void pushup(int x)
{
	s[x].sm=s[s[x].ch[0]].sm;
	if(s[s[x].sm].v<s[s[s[x].ch[1]].sm].v)	s[x].sm=s[s[x].ch[1]].sm;
	if(s[s[x].sm].v<s[x].v)	s[x].sm=x;
}
void pushdown(int x)
{
	if(s[x].rev)
	{
		swap(s[x].ch[0],s[x].ch[1]);
		if(s[x].ch[0])	s[s[x].ch[0]].rev^=1;
		if(s[x].ch[1])	s[s[x].ch[1]].rev^=1;
		s[x].rev=0;
	}
}
void updata(int x)
{
	if(!isr(x))	updata(s[x].fa);
	pushdown(x);
}
void rotate(int x)
{
	int y=s[x].fa,z=s[y].fa,d=(x==s[y].ch[1]);
	if(!isr(y))	s[z].ch[y==s[z].ch[1]]=x;
	s[y].ch[d]=s[x].ch[d^1],s[x].fa=z,s[y].fa=x;
	if(s[x].ch[d^1])	s[s[x].ch[d^1]].fa=y;
	s[x].ch[d^1]=y;
	pushup(y),pushup(x);
}
void splay(int x)
{
	updata(x);
	while(!isr(x))
	{
		int y=s[x].fa,z=s[y].fa;
		if(!isr(y))
		{
			if((x==s[y].ch[0])^(y==s[z].ch[0]))	rotate(x);
			else	rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
}
void access(int x)
{
	int y=0;
	while(x)	splay(x),s[x].ch[1]=y,pushup(x),y=x,x=s[x].fa;
}
void maker(int x)
{
	access(x),splay(x),s[x].rev^=1;
}
void cut(int x,int y)
{
	maker(x),access(y),splay(y);
	s[x].fa=s[y].ch[0]=0,pushup(y);
}
void link(int x,int y)
{
	maker(y),s[y].fa=x;
}
int findr(int x)
{
	access(x),splay(x);
	while(s[x].ch[0])	x=s[x].ch[0];
	return x;
}
void split(int x,int y)
{
	maker(y),access(x),splay(x);
}
int rd()
{
	int ret=0;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	gc=getchar();
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret;
}
int main()
{
	n=rd(),m=rd();
	int i,a,b;
	for(i=1;i<=m;i++)	p[i].px=rd(),p[i].py=rd(),p[i].pa=rd(),p[i].pb=rd();
	sort(p+1,p+m+1,cmp);
	for(i=1;i<=n+m;i++)	s[i].sm=i;
	for(i=1;i<=m;i++)	s[i+n].v=p[i].pb;
	ans=1<<30;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		if(findr(p[i].px)!=findr(p[i].py))	link(p[i].px,i+n),link(p[i].py,i+n);
		else
		{
			split(p[i].px,p[i].py);
			a=s[p[i].px].sm;
			if(s[a].v>p[i].pb)
			{
				cut(a,p[a-n].px),cut(a,p[a-n].py);
				link(p[i].px,i+n),link(p[i].py,i+n);
			}
		}
		if(findr(1)==findr(n))	split(1,n),ans=min(ans,p[i].pa+s[s[1].sm].v);
	}
	printf("%d",(ans==(1<<30))?-1:ans);
	return 0;
}