二分算法的应用——最大化平均值
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了二分算法的应用——最大化平均值相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
最大化平均值
有n个物品的重量和价值分别wi 和 vi。从中选出 k 个物品使得 单位重量 的价值最大。
限制条件:
1 <= k <= n <= 10^4
1 <= w_i <= v_i <= 10^6
输入:
n = 3
k = 2
{W, V} = {(2,2), (5,3), (2,1)}
输出:
0.75 (如果选0号和2号,平均价格是 (2 + 1) / (2 + 2) = 0.75)
题解:
一般先想到的肯定是:把物品按照 单位价值 进行排序,然后从大到小贪心地进行选取。但是这个方法对应输入得到的 是 5/7=0.714。不可行。
转换成二分搜索的问题,由之前的博客中,这种题目关键就是 编写二分的条件C(x)。
- C(x) = 可以选择使得 单位重量的价格 不小于 x
假设 n组数据,那他们 单位重量的价格是:
- sum(vi) / sum(wi)
因此就变成了:
- sum(vi) / sum(wi) >= x
转换为:
- sum(vi - x * wi) >= 0
对 (vi - x * wi )的值进行排序贪心地进行选取。因此:
- C(x) = ((vi - x*wi) 从大到小排列中的前 k 个的和不小于0),即说明改 x 可以达到 k 个物品的 单位重量的价值
- 然后,就是用 二分搜索,来进行得到 最大满足这一条件的 x
#include <iostream>
#include <functional>
#include <algorithm>
using namespace std;
/*
3
2
2 2 5 3 2 1
*/
const int maxn = 100000 + 100;
int n, k;
int w[maxn], v[maxn];
double ave[maxn];
//判断是否满足条件
bool C(double x)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
ave[i] = v[i] - x * w[i];
}
//如果要自定义排序,里面别写成int了.....答案会出错...
sort(ave, ave + n, greater<double>());
// for (int i = 0; i < n; i++) {
// cout << ave[i] << " ";
// }
// cout << endl;
//按从大到小取k个数求和
double sum = 0;
for (int i = 0; i < k; i++) {
sum += ave[i];
}
//观察是否 可以取到 x为平均值
return sum >= 0;
}
void solve()
{
int INF = 0;
cin >> n >> k;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> w[i] >> v[i];
INF += v[i];
}
double lh = 0, rh = INF, mid;
for (int i = 0; i < 100; i++)
{
mid = (lh + rh) / 2.0;
if (C(mid)) {
lh = mid;
}
else {
rh = mid;
}
}
printf("%.2f\\n", lh);
}
int main()
{
solve();
return 0;
}
习题:POJ 2976 Dropping tests
来源:http://poj.org/problem?id=2976
题意:题目就是说,n个题目,你可以少做k个题目, 然后 n个题目分别为你得到的分数 ai, 和题目的分数 bi , 有个公式是:
, 要求就是:均值最大为多少,需要四舍五入。输入多组数据,n, k同时为0时,终止输入。和上面的例题属于一模一样的题目, 用二分解决最大化平均值的问题。
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1000 + 10;
typedef long long LL;
int n, k;
LL a[maxn], b[maxn];
double INF;
double ave[maxn];
bool C(double x)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
ave[i] = a[i] - x * b[i];
}
//降序
sort(ave, ave + n, greater<double>());
double sum = 0;
for (int i = 0; i < n - k; i++)
{
sum += ave[i];
}
return sum >= 0;
}
void solve()
{
double lh = 0, rh = INF, mid;
for (int i = 0; i < 100; i++)
{
mid = (lh + rh) / 2;
if (C(mid))
{
lh = mid;
}
else
{
rh = mid;
}
}
//和下面那种都可以
printf("%.f\\n", lh * 100);
// cout << fixed << setprecision(0) << lh * 100 << endl;
}
int main()
{
while (cin >> n >> k && (n || k))
{
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
INF += a[i];
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> b[i];
}
solve();
}
return 0;
}
以上是关于二分算法的应用——最大化平均值的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章