二分算法的应用——最大化平均值

Posted 2020-10-25 豆子

最大化平均值

有n个物品的重量和价值分别wi 和 vi。从中选出 k 个物品使得 单位重量 的价值最大。

限制条件：
1 <= k <= n <= 10^4
1 <= w_i <= v_i <= 10^6

输入：
n = 3
k = 2
{W, V} = {(2,2), (5,3), (2,1)}

输出：
0.75 （如果选0号和2号，平均价格是 (2 + 1) / (2 + 2) = 0.75）

题解：

一般先想到的肯定是：把物品按照  单位价值  进行排序，然后从大到小贪心地进行选取。但是这个方法对应输入得到的 是 5/7=0.714。不可行。

转换成二分搜索的问题，由之前的博客中，这种题目关键就是 编写二分的条件C(x)。

• C(x) = 可以选择使得 单位重量的价格 不小于 x

假设 n组数据，那他们 单位重量的价格是：

• sum(vi) / sum(wi)

因此就变成了：

• sum(vi) / sum(wi) >= x 

转换为：

• sum(vi - x * wi) >= 0

对 (vi - x * wi )的值进行排序贪心地进行选取。因此：

• C(x) = ((vi - x*wi) 从大到小排列中的前  k 个的和不小于0)，即说明改 x 可以达到 k 个物品的 单位重量的价值
• 然后，就是用 二分搜索，来进行得到 最大满足这一条件的 x 

#include <iostream>
#include <functional>
#include <algorithm>
using namespace std;

/*
3
2
2 2 5 3 2 1
*/
const int maxn = 100000 + 100;
int n, k;
int w[maxn], v[maxn];
double ave[maxn];

//判断是否满足条件 
bool C(double x)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        ave[i] = v[i] - x * w[i];
    }
    //如果要自定义排序，里面别写成int了.....答案会出错... 
    sort(ave, ave + n, greater<double>());
    
//    for (int i = 0; i < n; i++) {
//        cout << ave[i] << " ";
//    }
//    cout << endl;
    
    //按从大到小取k个数求和 
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        sum += ave[i];
    }
    
    //观察是否 可以取到 x为平均值 
    return sum >= 0;
}

void solve()
{
    int INF = 0;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> w[i] >> v[i];
        INF += v[i];
    }
    
    double lh = 0, rh = INF, mid;
    for (int i = 0; i < 100; i++)
    {
        mid = (lh + rh) / 2.0;
        if (C(mid)) {
            lh = mid;
        }
        else {
            rh = mid;
        }            
    }
    printf("%.2f\\n", lh);
}

int main()
{
    solve();
    return 0;
}

 习题：POJ 2976 Dropping tests

来源：http://poj.org/problem?id=2976

 题意：题目就是说，n个题目，你可以少做k个题目, 然后 n个题目分别为你得到的分数  ai, 和题目的分数 bi , 有个公式是：

， 要求就是：均值最大为多少，需要四舍五入。输入多组数据，n, k同时为0时，终止输入。和上面的例题属于一模一样的题目, 用二分解决最大化平均值的问题。

 

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 10;
typedef long long LL;
int n, k;
LL a[maxn], b[maxn];
double INF;
double ave[maxn];

bool C(double x)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        ave[i] = a[i] - x * b[i];
    }
    
    //降序 
    sort(ave, ave + n, greater<double>());
    
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n - k; i++)
    {
        sum += ave[i];
    }
    
    return sum >= 0;    
}

void solve()
{
    double lh = 0, rh = INF, mid;
    for (int i = 0; i < 100; i++)
    {
        mid = (lh + rh) / 2;
        if (C(mid))
        {
            lh = mid;
        }
        else
        {
            rh = mid;    
        }
    }
    //和下面那种都可以 
    printf("%.f\\n", lh * 100);
//    cout << fixed << setprecision(0) << lh * 100 << endl;
}

int main()
{
    while (cin >> n >> k && (n || k))
    {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i];
            INF += a[i];
        }        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> b[i];
        }    
        solve();    
    }
    return 0;
}