洛谷 Roy&October之取石子

Posted 2020-10-25 five20

题目背景

Roy和October两人在玩一个取石子的游戏。

题目描述

游戏规则是这样的：共有n个石子，两人每次都只能取p^k 个（p为质数，k为自然数，且p^k小于等于当前剩余石子数），谁取走最后一个石子，谁就赢了。

现在October先取，问她有没有必胜策略。

若她有必胜策略，输出一行"October wins!"；否则输出一行"Roy wins!"。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个正整数T，表示测试点组数。

第2行~第(T+1)行，一行一个正整数n，表示石子个数。

输出格式：

T行，每行分别为"October wins!"或"Roy wins!"。

输入输出样例

输入样例#1： 

3
4
9
14

输出样例#1： 

October wins!
October wins!
October wins!

说明

对于30%的数据，1<=n<=30；

对于60%的数据，1<=n<=1,000,000；

对于100%的数据，1<=n<=50,000,000，1<=T<=100,000。

（改编题）

 

Solution：

博弈论题首先找规律

首先0 个石子的状态一定是必败态，因为对面在上一轮已经拿完了。

观察1 ~5个石子，发现1=p⁰,2=2¹,3=3¹,4=2²,5=5¹，都是必胜态，可以一次拿完赢得游戏。

然后6个石子没办法一下拿完（因为6≠p^k ）。可以知道只能拿1 ~5个石子，这样都会转移到前面的必胜态，只不过这个必胜态已经是对面的了，所以说6 个石子是你的必败态，在你面前出现6个石子又轮到你拿的时候，你必定失败。

这样一直往后找到12的时候，发现7 ~11 都是必胜态（一次把石子总数拿到6 个石子然后对面就输了），而12是必败态。

于是猜想所有6n6n6n 的状态是必败态，其余所有状态(6n+1,6n+2…6n+5)都是必胜态。

我们采用数学归纳法证明：

当n=0时，结论成立，因为0 ～5 上面已经说明过了。

现在假设0~6n−1 都满足结论。

先证明6n为必败态：因为任何p^k，都不是6 的倍数，所以6n个石子拿完一次不会还是6 的倍数，故必定转移到对面的必胜态，所以6n是必败态。

显然6n+r(r=1,2…5) 只需要拿掉r便可以转移到6n ，是对面的必败态，所以6n+r(r=1,2…5)是必胜态。

证毕。

代码：

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int main(){
 5     int T,x;
 6     for(scanf("%d",&T);T;T--){
 7         scanf("%d",&x);
 8         puts(x%6==0?"Roy wins!":"October wins!");
 9     }
10     return 0;
11 }