NOIP题目解析之取石子问题

Posted 2022-12-14 明立

题目：
现有5堆石子，石子数依次为3，5，7，19，50.甲乙两人轮流从任一堆中取石子，取最后一颗石子的一方获胜，甲先取，请问甲有没有获胜策略？如果有，甲第一步应在哪一堆里取多少？

解析：
在解这一道题之前，我们可以先来把问题简化。把五堆石子转化成两堆，石子数分别为 3 和 5 。探查其规律，我们发现，要使甲获胜，必须使得存在一种可能，就是当甲取了石子之后，到乙开始取石子时，两堆石子的数目要保持一致。这样，不管乙取多少，只要甲在另一堆取走相同的数量的石子，则甲最后必定是最后一个取走最后一颗石子的。（可以在纸上进行一下推算）

那么，在这个简化的题目上，我们发现很重要两个判定：
1）要想甲取胜，则当其取石子时，两堆石子必定是保持不平衡的状态，此时甲取走多余的部分，使得两堆石子保持平衡
2）当乙在两堆数目相同的石子上任意选一堆取一定的棋子时，都必定会使得当前两堆棋子形成一种不平衡的状态（两端数据不对称即为不平衡）

而我们发现，要使得甲获胜，则必须保证在其取石子前，石子的数据应该是保持不平衡的状态，我们姑且用非负态来表示这种不平衡的状态。反之，我们则用负态来表示平衡的状态。那么前面根据两个判定，我们可以得出另外一个结论：

要使得非负态转化成负态，只有一种操作，就是保持平衡。而当我们处于负态时，可以通过操作一定的石子改变这种状态

也就是说，其实我们可以捡走石子的过程，就是不断在改变这两种状态的过程。而只要甲能够保持在这个状态转换的过程中，一直处于将非负态转化成负态的过程即可获胜。

那么，我们明白了甲要获胜的一个原理，就要继续回到我们的实践操作之——应该取走多少石子。

因为我们发现，整一个过程就是两种状态的切换，也就是可以和不可以的问题。那当我们面临着两种情况的分析的时候，我们一般使用符合计算机思维的二进制数字进行分析，那什么是二进制呢？这个时候就需要先普及一个知识点：
基础：二进制
二进制数字，指的是逢二进一，意思是当我们从0开始数数时，当数到2时，需要向前进一位，而当前位为0。也就是说，二进制数字只有0 和 1这两个数字。它和十进制的区别就在于什么时候进位。我们来看一组二进制和10进制的对比：

二进制                            10进制
0                                   0
1                                   1
10                                  2
11                                  3
100                                 4
101                                 5
110                                 6
111                                 7
1000                                8
1001                                9
1010                                10

我们发现，同样是数字，在二进制里面就没有出现过2以上的数字，这也是因为我们逢二进一的结果。
那我们说到要用二进制，可是题目的数据又是十进制的，那我们怎么实现二进制和10进制的转换呢？我们来看一下：

二进制和十进制的相互转换
1.十进制转化成二进制：
当我们要将10进制转化为2进制时，有一个比较简单的方法，我们可以通过筛查的方式实现，什么意思呢？跟着思路走：
1.在纸上画出一个筛选的“柱子”，从右到左分别是2的0次方—–2的n-1次方。比如：

  256  128   64    32   16   8  4  2  1

然后，把我们要转换的10进制数取出来（以数字9为例），我们判断这个数字在哪个区间段之间（9在 8->16之间），取最小值（8）。，在8的上面写1。也就是

                             1 
  256  128   64    32   16   8  4  2  1

接着，用9减去8，剩余的数字是1，重复上述的操作，直到10进制数最终减为0（在这里，1对应1，在1上面写下1，此时1-1已经等于0），而柱子表示为：

                             1        1
  256  128   64    32   16   8  4  2  1

最后：把所有没有1的部分写上0，即

   0    0    0      0    0    1  0  0  1
  256  128   64    32   16    8  4  2  1

最左边一个1往左的所有0可以删去，即最后的结果为：1001
2.二进制转10进制
我们上面介绍了10进制转2进制的方式，那二进制转10进制呢，其实也是通过我们的“柱子”。怎么来呢？
第一步，把柱子写出来：

256 128 64 32 16 8 4 2 1

第二步：把二进制数字的最右边和柱子的最右边契合，以10010为例：

               1 0 0 1 0
256 128 64 32 16 8 4 2 1

第三步：把二进制中1所在的柱子的数字拿出来，相加，就是

16+2=18

18就是我们想要的结果~

好啦，说完了二进制，我们继续回归刚才的问题，我们同样以3 和 5 为例，我们要判断当前棋子的分布式哪一种状态，是不是就是看这两堆石子是不是处于平衡的状态。比如：

3的二进制是：          011
 则其对应状态应该也是   011 
 而5的二进制是：       101 
 则我们可以很清晰地看到，应该对应的状态
 除于非负态，甲有获胜策略。那要取多少石子呢？
 是不是就是 101 - 011=5-3=2.

上面的是以两堆石子为例的情况分析。那当我们面临多堆石子的情况时，应该怎么确定应该对应的状态呢？其实我们可以发现，只要我们保证在二进制情况下，每一次甲取完之后，只要各个数位的1的总和为偶数，则不论乙怎么取其中的哪一堆上的数字，甲都能通过取走其他堆的石子，使其继续保持偶数的状态。比如：

0 1 1
0 1 1

0 2 2
 我们发现往上往下看，每个
 数位上的1都是偶数个（0也算偶数）

那么，对于 3 5 7 19 50这5堆石子来说，因为50的数目是最大的，也就是我们有且仅有取这一堆石子的时候，才能保证把剩余的不平衡的状态去掉，变成一个平衡的状态，也就是非负态。所以，我们题目可以理解为：
当目前有3 5 7 19这四堆石子时，添加多少石子可以使其变成负态。即：

数字                                   对应的二进制数
3                                         00011
5                                         00101
7                                         00111
19                                        10011 

个数位的1的个数：                           10234
那我们的对应状态
就应该是（奇数为1，偶数为0）：               10010                                

也就是说，要使得当前状态为负态，则第五堆的石子数量应该是（10010），转化成10进制数，就是18。
也就是说，当甲第一次在50个石子里面取（50-18=32）个石子时，能够使得当前的状态为负态。也就是必胜的策略。解题完毕~~~