本文是刘汝佳《算法竞赛入门经典——训练指南》的读书笔记。
解题思路：
对于项链，它只支持旋转置换；而手镯支持旋转和翻转。下面由这两种置换来研究本题。
旋转
设顺时针旋转 \(i\) 颗珠子的间距，则珠子 \(0, i, 2i, ...\) 构成一个循环。
设每个循环有 \(t\) 颗珠子，则这 \(t\) 颗珠子的编号分别为：\(0, (i \mod n), (2i \mod n), ... [(t-1)i \mod n]\)，我们不能推出：\(ti \mod n = 0\)，即 \(ti = nk, k \in Z\).则\(ti = nk\) 的最小值为 \(lcm(i,n)\)，故由 \(ti = nk = lcm(i,n)\) 得
\(ti = \frac{in}{gcd(i,n)}\)
\(t = \frac{n}{gcd(i,n)}\)
则循环数为\(\frac{n}{t} = gcd(i,n)\).
不动点总数为 \(a = \sum_{i=0}^{i=n-1} t^{gcd(i,n)}\).
翻转
分 \(n\) 为奇数偶数两种情况讨论：
若 \(n\) 为奇数，则对称轴有 \(n\) 条，每条对称轴形成 \(\frac{n-1}{2}\) 个二元循环和 \(1\) 个一元循环，其总循环数为 \(\frac{n+1}{2}\). 不动点总数为 \(b = nt^{\frac{n+1}{2}}\).
若 \(n\) 为偶数，对称轴有两种，一种穿过两个对点，这种对称轴形成 \(2\) 个一元循环和 \(\frac{n}{2} - 1\) 个二元循环；一种是穿过两条对边的中点，这种对称轴形成 \(\frac{n}{2}\) 个二元循环。两种对称轴都有 \(\frac{n}{2}\) 条，则不动点总数为 \(b = \frac{n}{2}(t^{\frac{n}{2}}+t^{\frac{n}{2}+1})\).
则项链数为 \(\frac{a}{n}\)，手镯数为 \(\frac{a+b}{2n}\).
AC代码：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 3 using namespace std; 4 typedef long long ll; 5 ll pows[100]; 6 ll gcd(ll a,ll b){ 7 if(b==0) return a; 8 return gcd(b,a%b); 9 } 10 int main(){ 11 ll n,t; 12 while(scanf("%lld%lld",&n,&t)==2){ 13 ll xuan=0; 14 pows[0]=1; 15 for(int i=1;i<=n;i++) pows[i]=pows[i-1]*t; 16 for(ll i=0;i<n;i++){ 17 ll g=gcd(i,n); 18 xuan+=pows[g]; 19 } 20 ll fan=0; 21 if(n%2==1) 22 fan=pows[(n+1)/2]*n; 23 else 24 fan=(pows[n/2]+pows[n/2+1])*n/2; 25 printf("%lld %lld\n",xuan/n,(fan+xuan)/(2*n)); 26 27 } 28 29 30 return 0; 31 }