UVA10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2)

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本文是刘汝佳《算法竞赛入门经典——训练指南》的读书笔记。

解题思路:

  对于项链,它只支持旋转置换;而手镯支持旋转和翻转。下面由这两种置换来研究本题。

  旋转

  设顺时针旋转 \(i\) 颗珠子的间距,则珠子 \(0, i, 2i, ...\) 构成一个循环。

  设每个循环有 \(t\) 颗珠子,则这 \(t\) 颗珠子的编号分别为:\(0, (i \mod n), (2i \mod n), ... [(t-1)i \mod n]\),我们不能推出:\(ti \mod n = 0\),即 \(ti = nk, k \in Z\).则\(ti = nk\) 的最小值为 \(lcm(i,n)\),故由 \(ti = nk = lcm(i,n)\) 得

  \(ti = \frac{in}{gcd(i,n)}\)

  \(t = \frac{n}{gcd(i,n)}\)

  则循环数为\(\frac{n}{t} = gcd(i,n)\).

  不动点总数为 \(a = \sum_{i=0}^{i=n-1} t^{gcd(i,n)}\).

翻转

  分 \(n\) 为奇数偶数两种情况讨论:

  若 \(n\) 为奇数,则对称轴有 \(n\) 条,每条对称轴形成 \(\frac{n-1}{2}\) 个二元循环和 \(1\) 个一元循环,其总循环数为  \(\frac{n+1}{2}\).  不动点总数为 \(b = nt^{\frac{n+1}{2}}\).

  若 \(n\) 为偶数,对称轴有两种,一种穿过两个对点,这种对称轴形成 \(2\) 个一元循环和 \(\frac{n}{2} - 1\) 个二元循环;一种是穿过两条对边的中点,这种对称轴形成 \(\frac{n}{2}\) 个二元循环。两种对称轴都有 \(\frac{n}{2}\) 条,则不动点总数为  \(b = \frac{n}{2}(t^{\frac{n}{2}}+t^{\frac{n}{2}+1})\).

  则项链数为 \(\frac{a}{n}\),手镯数为 \(\frac{a+b}{2n}\).

AC代码:

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 ll pows[100];
 6 ll gcd(ll a,ll b){
 7     if(b==0)    return a;
 8     return gcd(b,a%b);
 9 }
10 int main(){
11     ll n,t;
12     while(scanf("%lld%lld",&n,&t)==2){
13         ll xuan=0;
14         pows[0]=1;
15         for(int i=1;i<=n;i++)   pows[i]=pows[i-1]*t;
16         for(ll i=0;i<n;i++){
17             ll g=gcd(i,n);
18             xuan+=pows[g];
19         }
20         ll fan=0;
21         if(n%2==1)
22             fan=pows[(n+1)/2]*n;
23         else
24             fan=(pows[n/2]+pows[n/2+1])*n/2;
25         printf("%lld %lld\n",xuan/n,(fan+xuan)/(2*n));
26 
27     }
28 
29 
30     return 0;
31 }

 

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