UVA10214- 树林里的树 Trees in a Wood. - 莫比乌斯反演
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了UVA10214- 树林里的树 Trees in a Wood. - 莫比乌斯反演相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
题目：
思路：
与[SDOI2008]仪仗队很像
在一个象限内
都是让求
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
M
[
g
c
d
(
i
,
j
)
=
1
]
\\sum_{i = 1}^{N}\\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)=1]
i=1∑Nj=1∑M[gcd(i,j)=1]
所以我们设置
f
(
n
)
=
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
M
[
g
c
d
(
i
,
j
)
=
n
]
,
f
(
1
)
=
?
f(n) = \\sum_{i = 1}^{N}\\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)=n],\\quad f(1) = \\;?
f(n)=i=1∑Nj=1∑M[gcd(i,j)=n],f(1)=?
但是因为
f
(
1
)
f(1)
f(1)比较难求，所以我们同时要设置一个满足
F
(
n
)
=
∑
n
∣
d
f
(
d
)
F(n) = \\sum_{n|d}f(d)
F(n)=∑n∣df(d)的
F
(
n
)
F(n)
F(n)
F
(
n
)
=
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
M
[
n
∣
g
c
d
(
i
,
j
)
]
,
F
(
1
)
=
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
M
1
F(n) = \\sum_{i = 1}^{N}\\sum_{j=1}^{M}[n | gcd(i,j)],\\quad F(1) = \\sum_{i = 1}^{N}\\sum_{j=1}^{M}1
F(n)=i=1∑Nj=1∑M[n∣gcd(i,j)],F(1)=i=1∑Nj=1∑M1
∴
F
(
n
)
=
∑
n
∣
d
f
(
d
)
,
F
(
1
)
=
∑
d
=
1
m
i
n
(
N
,
M
)
f
(
d
)
\\therefore F(n) = \\sum_{n|d}f(d),\\quad F(1) = \\sum_{d = 1}^{min(N,M)}f(d)
∴F(n)=n∣d∑f(d),F(1)=d=1∑min(N,M)f(d)
∴
f
(
n
)
=
∑
n
∣
d
μ
(
d
n
)
F
(
d
)
,
f
(
1
)
=
∑
d
=
1
m
i
n
(
N
,
M
)
μ
(
d
)
F
(
d
)
\\therefore f(n) = \\sum_{n|d}\\mu(\\frac dn)F(d),\\quad f(1) = \\sum_{d=1}^{min(N,M)}\\mu(d)F(d)
∴f(n)=n∣d∑μ(nd)F(d),f(1)=d=1∑min(N,M)μ(d)F(d)
∵
1
≤
d
≤
m
i
n
(
N
,
M
)
\\because 1 \\le d \\le min(N, M)
∵1≤d≤min(N,M)
∴
F
(
d
)
=
⌊
N
d
⌋
∗
⌊
M
d
⌋
\\therefore F(d) = \\left \\lfloor \\frac Nd \\right \\rfloor * \\left \\lfloor \\frac Md \\right \\rfloor
∴F(d)=⌊dN⌋∗⌊dM⌋
∴
f
(
1
)
=
∑
d
=
1
m
i
n
(
N
,
M
)
μ
(
d
)
∗
⌊
N
d
⌋
∗
⌊
M
d
⌋
\\therefore f(1) = \\sum_{d=1}^{min(N,M)}\\mu(d) * \\left \\lfloor \\frac Nd \\right \\rfloor * \\left \\lfloor \\frac Md \\right \\rfloor
∴f(1)=d=1∑min(N,M)μ(d)∗⌊dN⌋∗⌊dM⌋
由于四个象限 + 四个坐标轴，所以分子为
4
∗
∑
d
=
1
m
i
n
(
N
,
M
)
μ
(
d
)
∗
⌊
n
d
⌋
∗
⌊
m
d
⌋
+
4
4 * \\sum_{d = 1}^{min(N, M)}μ(d)*\\left \\lfloor \\frac nd \\right \\rfloor *\\left \\lfloor \\frac md \\right \\rfloor + 4
4∗∑d=1min(N,M)μ(d)∗⌊dn⌋∗⌊dm⌋+4
分母则是所有的树
(
N
∗
2
+
1
)
∗
(
M
∗
2
+
1
)
−
1
(N * 2 + 1) * (M * 2 + 1) - 1
(N∗2+1)∗(M∗2+1)−1
答案则是 4 ∗ ∑ d = 1 m i n ( N , M ) μ ( d ) ∗ ⌊ n d ⌋ ∗ ⌊ m d ⌋ + 4 ( N ∗ 2 + 1 ) ∗ ( M ∗ 2 + 1 ) − 1 \\frac {4 * \\sum_{d = 1}^{min(N, M)}μ(d)*\\left \\lfloor \\frac nd \\right \\rfloor *\\left \\lfloor \\frac md \\right \\rfloor + 4}{(N * 2 + 1) * (M * 2 + 1) - 1} (N∗2+1)∗(M∗2+1)−14∗∑d=1min(N,M)μ(d)∗⌊dn⌋∗⌊dm⌋+4保留7位小数
代码：
/*
________ _ ________ _
/ ______| | | | __ | | |
/ / | | | |__| | | |
| | | |___ _ _ _ ___ _ _____ | ___| ______ _____ ___ _ | |
| | | __ \\ |_| | | | | | _\\| | | ____| | |\\ \\ | __ | | _ | | _\\| | | |
| | | | \\ | _ | | | | | | \\ | | \\___ | | \\ \\ | |_/ _| | |_| | | | \\ | | |
\\ \\______ | | | | | | \\ |_| / | |_/ | ___/ | | | \\ \\ | /_ \\__ | | |_/ | | |
Author : \\________| |_| |_| |_| \\___/ |___/|_| |_____| _________|__| \\__\\ |______| | | |___/|_| |_|
____| |
\\_____/
*/
以上是关于UVA10214- 树林里的树 Trees in a Wood. - 莫比乌斯反演的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
UVa 10214 Trees in a Wood. (数论-欧拉函数)
UVa 10562 Undraw the Trees 看图写树