hdu 5181 numbers

Posted 2020-10-24 日拱一卒 功不唐捐

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5181

 

题意：

有一个栈，其中有n个数1~n按顺序依次进入栈顶，在某个时刻弹出。

其中m个限制，形如数字A必须在数字B之前弹出。

求方案总数

 

dp[i][j]表示数字i~j的出栈方案数

枚举最后一个出栈的数k，若k合法

dp[i][j]+=dp[i][k]*dp[k+1][j]

如何判断k是否合法？

 

对于一组i，j，k来说，它的弹出顺序是 [i,k-1]早于[k+1,j]早于k

对于一个限制 A必须在B之前出栈 

它只会对 i<=min(A,B),j>=max(A,B) 的 dp[i][j] 产生影响

若A<B，

a、i<=k<A或B<k<=j，产生的影响已在子DP中求出

b、k=A，A最后出栈，显然不合法

c、k=B，B最后出栈，显然合法

d、A<k<B，[A,k-1]早于[k+1,B]早于k出栈，所以合法

若B<A，

a、i<=k<B或A<k<=j，产生的影响已在子DP中求出

b、k=A，A最后出栈，显然不合法

c、k=B，B最后出栈，显然合法

d、B<k<A，[B,k-1]早于[k+1,A]早于k出栈，所以不合法

综上所述

对于一个限制A必须在B之前出栈

若A<B，当k=A时不合法

若B<A，当k∈(B,A]时不合法

这样的话之间复杂度时O（n^3 * m）

 

对于限制A必须在B之前出栈，如果确定了不能用k转移

考虑这些区间有哪些

令mi=min（A，B），mx=max（A，B）

那么区间

[1,mx] [1,mx+1] [1,mx+2]……[1,n]

[2,mx] [2,mx+1] [2,mx+2]……[2,n]

……

[mi][mx] [mi,mx+1] [mi,mx+2]……[mi,n]

不能用k转移

如果把这些区间的左右端点当做二维平面上的一个点对

那么这些区间就是 以[1,mx]为左上角，以[mi,n]为右下角的一个矩形

那么对于每个k，利用差分和前缀和预处理出这些矩形，就可以做到O（1）查询k转移dp[l,r]是否合法

时间复杂度为O（n^3 + nm）

 

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int mod=1e9+7;

#define N 302
#define M 90001

int n,m;

int lim[M][2];

int a[N][N][N];

int dp[N][N];

void read(int &x)
{
    x=0; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar(); 
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-‘0‘; c=getchar(); }
}

void add(int xl,int yl,int xr,int yr,int k)
{
    a[xl][yl][k]++;
    a[xl][yr+1][k]--;
    a[xr+1][yl][k]--;
    a[xr+1][yr+1][k]++;
}

void pre()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    int mi,mx;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        mi=min(lim[i][0],lim[i][1]);
        mx=max(lim[i][0],lim[i][1]);
        if(lim[i][0]<lim[i][1]) add(1,mx,mi,n,lim[i][0]);
        else
        for(int j=lim[i][1]+1;j<=lim[i][0];++j) add(1,mx,mi,n,j);
    }
    for(int k=1;k<=n;++k)
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                a[i][j][k]=a[i-1][j][k]+a[i][j-1][k]-a[i-1][j-1][k]+a[i][j][k];
    }
}

void DP()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;++i) dp[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=n+1;++i) dp[i][i-1]=1;
    for(int i=n-1;i;--i)
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
            for(int k=i;k<=j;++k)
                if(!a[i][j][k]) 
                    dp[i][j]=(dp[i][j]+(long long)dp[i][k-1]*dp[k+1][j])%mod;
    cout<<dp[1][n]<<‘\n‘;
}

int main()
{
    int T;
    read(T);
    bool tag;
    while(T--)
    {
        read(n); read(m);
        tag=true;
        for(int i=1;i<=m;++i) 
        {
            read(lim[i][0]),read(lim[i][1]);
            if(lim[i][0]==lim[i][1]) tag=false;
        }
        if(!tag) { puts("0"); continue; }
        pre();
        DP();
    }
}