欧拉函数

Posted 2020-07-07 TensionRidden

问题：求[L, R]中K ( 假设φ(n)表示1..n-1中与n互质的数的个数。对于[L,R]中的任意一个除K 以外的整数y，满足φ(K)≤φ(y)且φ(K)=φ(y)时，K<y ),K是[L,R]中φ(n)最小并且值也最小的数。

解：用欧拉函数求解

　　φ(n)，一般被称为欧拉函数。其定义为：小于n的正整数中与n互质的数的个数。

　　先了解四个性质：

　　(1) u mod p 与 p 互质 <=> u 和 p 互质

设 a, b互质, c = a mod b

　　　　假设 c 与 b 不互质，则存在着 d >= 1, 使得 c = nd, b = md (d 为b，c 的公约数)

　　　　因为 c = a mod b, 所以 a = kb + c

　　　　则 a = kmd + nd = (km + n)d

　　　　因为 b = md，a = (km + n)d

　　　　所以 a，b 不互质，与之前矛盾，假设不成立，所以 b 和 c 互质

　　　　所以 a 和 b 互质 => b 和 a mod b 互质

　　　　同理 可得 b 和 a mod b 互质 => a 和 b 互质

　　(2) 若 n 是素数，则 φ(n) = n - 1

　　　　这是显然的

　　(3) 若n = p^k，p为素数（即n为单个素数的整数幂），则φ(n) = (p-1)*p^(k-1)

　　　　n 是 p 的整数幂，因此所有 p 的倍数和 n 都不互质。小于 n 的 p 的倍数一共有 p^(k-1)-1 个，因此和 n 互质的个数为：

p^k-1 - (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)

　　(4) 若 p 和 q 互质，则 φ(p*q) = φ(p) * φ(q)　　　

　　　　对于所有小于 pq 的整数 u，可以表示为 u = aq + r。(a=0,1,2,...,p-1，r=0,1,...,q-1)。

　　　　对于u = aq + r, 设R = u mod p，0≤R<q。对于一个固定的r，设a1, a2满足0 <= a1, a2 < p且a1≠a2，有：

　　　　　　u1 = a1*q+r, 　　u2 = a2*q+r，　　u1-u2=(a1-a2)*q

　　　　因为p与q互质，且|a1-a2|<p，则|u1-u2|一定不是p的倍数。

　　　　所以对于每一个固定的r，其对应的p个u = a*q+r(a=0,1,2,...,p-1)对mod p来说余数都不相同，即u mod p的结果恰好取遍0,1,...,p-1中的每一个数。

　　　　　　因为 u mod p 与 p 互质 <=> u 和 p 互质

　　　　因此对于任意一个确定的 r，与其对应的 p 个 u 中恰好有φ(p)个与 p 互质。

　　　　同理，由 u = aq + r 知 r 与 q 互质 <=> u 与 q 互质。因此在0..q-1中恰好有φ(q)个 r 使得 u 与 q 互质。

　　　　综上，当 r 与 q 互质的情况下，固定 r 可以得到φ(p)个与p和q都互质的数。

　　　　满足条件的 r 一共用φ(q)个，所以一共能找到有φ(p) * φ(q)个与p和q都互质的数。

　　　　由此得证：φ(p*q) = φ(p) * φ(q)

 

　　所以，

　　　　若p为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * p，

　　　　若p为不为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * (p-1)

　　根据这两条，当我们得到一个 n 时，可以枚举质数 p 来递推的求解φ(n*p)

　　因此我们只需要在欧拉筛代码的基础上做一个小改动，就可以得到递推求解φ(n)的算法：

isPrime[] = true
primeList = []
phi = []    // phi[n]表示n的欧拉函数
primeCount = 0
For i = 2 .. N
    If isPrime[i] Then
        primeCount = primeCount + 1
        primeList[ primeCount ] = i
        phi[i] = i - 1 // 质数的欧拉函数为p-1
    End If 
    For j = 1 .. primeCount
        If (i * primeList[j] > N) Then
            Break
        End If
        isPrime[ i * primeList[j] ] = false
        If (i % primeList[j] == 0) Then
            // primeList[j]是i的约数，φ(n*p) = φ(n) * p
            phi[ i * primeList[j] ] = phi[i] * primeList[j];
            Break
        Else 
            // primeList[j]不是i的约数，φ(n*p) = φ(n) * (p-1)
            phi[ i * primeList[j] ] = phi[i] * (primeList[j] - 1);
        End If
    End If
End For

上源代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 5000010
using namespace std;
int ou[N];
int main(){
    int l,r,min=N-1;
    cin >> l >> r;
    for(int i=0;i<=r;i++){
        ou[i]=i;
    }
    //求欧拉函数 
    for(int i=2;i<=r;i++){
        if(ou[i]==i){
            for(int j=i;j<=r;j+=i){
                ou[j]=ou[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
    ou[min]=N;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        min=ou[min]>ou[i]?i:min;
    }
    cout << min << endl;
    return 0;
}

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