[SCOI2009]游戏

Posted 2020-10-23 Z-Y-Y-S

Description

　　windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按
顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们
对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。
如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6
windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可
能的排数。

Input

　　包含一个整数N,1 <= N <= 1000

Output

　　包含一个整数，可能的排数。

Sample Input

【输入样例一】
3
【输入样例二】
10

Sample Output

【输出样例一】
3
【输出样例二】
16

排数肯定是所有循环长度的lcm再+1

原题转化为：

把n分解成若干个数的和，有多少个不同的lcm

有一个神奇的方法

将结果lcm分解成素数的积：即p1^a1*p2^a2*p3^a3.....

那么最小的和是p1^a1+p2^a2+.....p3^a3

如果最小的那个小于n(剩下的用1补齐)那么就肯定有这个方案

于是又变成了这样：有多少个{a1,a2,a3,...}满足条件

这就是DP中的背包问题(注意a等于0时用0转移，因为1会补齐)

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long lol;
 8 lol f[1001][1001],ans;
 9 int vis[1001],tot,prime[1001],n;
10 int main()
11 {int i,j,k;
12   cin>>n;
13   for (i=2;i<=n;i++)
14     {
15       if (vis[i]==0)
16     {
17       tot++;
18       prime[tot]=i;
19     }
20       for (j=1;j<=tot;j++)
21     {
22       if (i*prime[j]>n) break;
23       vis[i*prime[j]]=1;
24       if (i%prime[j]==0)
25         break;
26     }
27     }
28   f[0][0]=1;
29   for (i=1;i<=tot;i++)
30     {
31       for (j=0;j<=n;j++)
32     f[i][j]=f[i-1][j];
33       for (j=1;j<=n;j++)
34     {
35       for (k=prime[i];k<=j;k*=prime[i])
36         {
37           f[i][j]+=f[i-1][j-k];
38         }
39     }
40     }
41   for (i=0;i<=n;i++)
42     ans+=f[tot][i];
43   cout<<ans;
44 }