ng机器学习视频笔记 ——SVM进一步认识

Posted 2020-10-23 lin_h

ng机器学习视频笔记（十）

——SVM进一步认识

 （转载请附上本文链接——linhxx）

 

一、概念

         svm称为支持向量，所谓的支持向量，就是在后面划分最大间距的时候，参与运算的向量，且最终新的样本进行比较，也只需要通过支持向量进行比较就可以了，不关心离边界线太远的其他向量。

         下图，在一个二维环境中，其中点R，S，G点和其它靠近中间黑线的点可以看作为支持向量，它们可以决定分类器，也就是黑线的具体参数。

        

 

对于函数：f(x)=xwT+bf(x)=xwT+b

对于C1类的数据 xwT+b⩾1。其中至少有一个点x_i，f(x_i)= 1。这个点称之为最近点。

对于C2类的数据 xwT+b ⩽−1。其中至少有一个点x_i，f(x_i)=−1。这个点称也是最近点。

上面两个约束条件可以合并为：

y_if(x_i)=yi(x_iw^T+b)⩾1，y_if(x_i)=y_i (x_iw^T+b)⩾1。y_i是点x_i对应的分类值（-1或者1）。因此，线性条件下，f(x)的公式为：f(x)=xw^T+b；限制条件为：y_if(x_i)=y_i (x_iw^T+b)⩾1,i=1,...,n

 

二、最大几何间隔

         f(x)为函数间隔γ。γ=yf(x)/||w||，其中||w||=。因此，问题可以转变为max 1/||w||，要求的条件是y_i (x_iw^T+b)⩾1,i=1,...,n。可以将求max 1/||w||等价转换成球min 0.5 ||w||²。

         现在考虑需要用拉格朗日乘子法和KKT条件来求w和b。这里要求的最优化问题是min 0.5 ||w||²，限制条件是1- y_i (x_iw^T+b)≤0。

         为了求解最大几何间隔，求出w和b，使用拉格朗日乘子法，要引入参数α，并对w和b求偏导数，令每个偏导数分别等于0。公式如下：

 

         注意到，上图中的第二个式子，αy相乘求和为0，是L对b求偏导数，并令其为0的结果；第四个式子，关于w的式子，是L对w求偏导数，并令其为0的结果。

         把上面的w的结果，带入其他的式子，得到：

 

 

         非常有趣的是，w被消掉了，可以通过α和b就可以直接使用到分类器中。并且都不需要考虑线性问题，可以用于解非线性的情况。

         另外，需要注意到的是，前一幅图中的不等式，在这幅图中（最后一个公式，α乘以括号一串那个公式）变成了等式。特别注意的是，由于α是要求大于等于0，而后面那一串是要求小于等于0，因此为了满足这个等式，必须是α等于0或是后面括号内的结果等于0。

         根据这个性质，会有一个非常重要的结论：SVM训练过程中，只需要拿在支持向量进行训练即可。支持向量，即括号内的等式等于0的。

         可以这么考虑，当点远离这个边界，可以很明确的被分类到某处，此时明显x_iwT+b远大于1，则为了满足拉格朗日的条件，必须是对应的α等于0。而看到上面拉格朗日的式子，如果α等于0，则整个式子都是0，因此可以不用考虑这个点。

         当点在附近时，x_iwT+b约等于1，此时，就需要对这个点再次训练其对应的α和b，因此这样的边界上的点，也就称为支持向量。

 

三、处理异常点

         如下图的w点，就是一个异常点，会导致无法找到合适的超平面：

 

 

为了解决这个问题，引入了一个叫做松弛变量(slack variable)ξ的概念。公式变成了x_iwT+b⩾1-ξ_i。对于拉格朗日乘子，主要是对α的限定变化了，如下：

 

 

         这个C越大，表示对异常的情况容忍度越大。C太小会限制α。

 

四、求解α——SMO法

         John Platt发布了一个称为SMO的强大算法，用于训练SVM。SMO表示序列最小优化（Sequential Minimal Optimization）。这个大神在1998年写了一篇论文，讲述这个内容 ，《Sequential-Minimal-Optimization---A-Fast-Algorithm-for-Training-Support-Vector-Machines》，后面又有一个大神对其进行了改进和补充，写了《Improvements to Platt’s SMO Algorithm for SVM Classifier》，这两篇全英文的论文，后面准备找时间研究一下。

         SMO的主要思想是每次取一对αi和αj，调整这两个值，迭代求解，过程如下：

1）初始化α为0；

2）在每次迭代中 （小于等于最大迭代数），

- 找到第一个不满足KKT条件的训练数据，对应的αi

- 在其它不满足KKT条件的训练数据中，找到误差最大的x，对应的index的αj

- αi和αj组成了一对，根据约束条件调整αi,αj

         这里提到的KKT条件，即拉格朗日乘子中的约束条件。

         这里可以调整的点，包括：

(1)yw≤1但是αi<C；(2)yw≥1但是αi>0；(3)yw≤1但是αi=0或αi=C。如下图所示：

 

 

当迭代完一次后，会发现若干不满足条件且可以调整的点，这个时候SMO采取的策略是选择这10个中的两个α出来，假设为α1,α2，这里先给出结论，调整方式如下：

 

 

上图中的E，表示这个点的预测的误差。另外，因为所有对应的α*y的和是0，因此调整前后要求满足：

 

 

         下面是推导过程。【这个问题我想了好久】

引用一段一个大神博客里的分析，来证明上面的公式。

假设我们来求α2。观察上面那个等式，y1,y2是标签，要么1要么-1。而两个α>=0。所以新的α是有范围的。假设现在y1=y2=1，那么αnew1+αnew2=αold1+αold2=ϵ

因为αnew1是在0-C之间，所以假设αnew1=0,那么αnew2可以取到最大值为ϵ,也就是αold1+αold2。而αnew2又不能大于C，所以其最大取值为min(C,αold1+αold2)。同理如果αnew1=C，那么αnew2可以取到最小值为ϵ−C,也就是αold1+αold2−C,而αnew2最小不能小于0，所以αnew2的下限值就为max(0,αold1+αold2−C)。这是相等取1。

当y1=y2=-1，同理，−αnew1−αnew2=−αold1−αold2=ϵ两边乘以-1，就是αnew1+αnew2=αold1+αold2=−ϵ，因为ϵ就是一个字母，用ϵ代替−ϵ，接下来的讨论过程一模一样，从而属于同类别的时候αnew2上下限就有了。同理去计算下不同类（1，-1）的时候的上下限。最终也能得到一个类似的结果，最终α的范围如下：

 

 

    下面要求解α，把含有α1,α2都单独拿出来，其他的作为一堆，就变成下面这样：

W(α)=1/2K₁₁α₁²+1/2K₂₂α₂²+y₁y₂K₁₂α₁α₂+y₁α₁v₁+y₂α₂v₂−α₁−α₂+W(α₃...α_n),v是一个与α1,α2,y1,y2有关的长式子，K是<x1∗x2>内积。可以看到后面一堆与α1,α2就没有关系。又因为有上面那个old、new的α的等式，可以消去α1new，而两个old又是上一次迭代结果，是已知数，故就变成了α2 new的式子。在令W对α2 new的导数为0，可以求出α2 new，进而求出α1 new。

         这个计算过程太复杂，不详细描写。这里算出来的α，还需要满足上面的最大值和最小值的限制条件，超过最大值则令其为最大值，低于最小值则令其为最小值。

         求出α后，可以根据w的公式，直接求出w。再带回到上面的带b的等式yi(w∗x+b)−1=0，可以求出b。但是由于一次性更新了两个α，对应的会求出两个b的值，要选择哪个b，规则是就是变换后的哪个α在0~C之间，也就是在分界线的边界上，也就是属于支持向量了，那么谁就准，就选那个α带入求出的b的值。

         【推导结束】

         接下来，剩下的就是循环，再次选择两个α，看是否需要更新（如果不满足KKT条件），不需要就重新选α，需要就更新α。一直到程序循环很多次（通常是用户设定的次数），都没有选择到两个不满足KKT条件的点，也就是所有的点都满足KKT了，那么就大功告成了。

         改进：

         当随机选取α，到后期时，由于大部分α已经被优化，剩下有问题的那些α很可能一直没有随机到，这样会浪费时间在不断的选择α中。因此，有了启发思想如下：

上一次的一些点的α在0-C之间，也就是这些点不满足条件需要调整，那么一次循环后，选中的α调整了一点，在下一次中，因为每一次的调整比较不可能完全，这些点还是更有可能不满足条件。而那些在上一次本身满足条件的点，那么在下一次后更有可能满足条件的。

所以在启发式的寻找α过程中，并不是遍历所有的点的α，而是遍历那些在0~C之间的α，而0~C反应到点上就是那些属于边界之间的点。当某次遍历在0~C之间找不到α了，那么再去整体遍历一次，这样就又会出现属于边界之间α了，然后再去遍历这些α，如此循环。

那么在遍历属于边界之间α的时候，因为是需要选两个α的，第一个可以随便选，第二个用一个启发式的思想，第1个α选择后，其对应的点与实际标签有一个误差，属于边界之间α的，所以每个点都会有一个自己的误差，这个时候选择剩下的点与第一个α点产生误差之差最大的那个点。

 

五、非线性分类

         非线性分类，由于引入了拉格朗日，变成非常简单，只需要把上面求解α、b的公式中，对应的K函数，换成相应的非线性的核函数即可，常用的有高斯核函数，又称径向基函数（radial basis function）。

 

 

——written by linhxx

 

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