题解入阵曲 luogu3941 前缀和 压维

Posted 2020-10-23 松令

丹青千秋酿，一醉解愁肠。

无悔少年枉，只愿壮志狂

题目

题目描述

小 F 很喜欢数学，但是到了高中以后数学总是考不好。

有一天，他在数学课上发起了呆；他想起了过去的一年。一年前，当他初识算法竞赛的 时候，觉得整个世界都焕然一新。这世界上怎么会有这么多奇妙的东西？曾经自己觉得难以 解决的问题，被一个又一个算法轻松解决。

小 F 当时暗自觉得，与自己的幼稚相比起来，还有好多要学习的呢。

一年过去了，想想都还有点恍惚。

他至今还能记得，某天晚上听着入阵曲，激动地睡不着觉，写题写到鸡鸣时分都兴奋不 已。也许，这就是热血吧。

也就是在那个时候，小 F 学会了矩阵乘法。让两个矩阵乘几次就能算出斐波那契数列的 第 $10^{100}$ 项，真是奇妙无比呢。

不过，小 F 现在可不想手算矩阵乘法——他觉得好麻烦。取而代之的，是一个简单的小 问题。他写写画画，画出了一个 $n×m$的矩阵，每个格子里都有一个不超过 k 的正整数。

小 F 想问问你，这个矩阵里有多少个不同的子矩形中的数字之和是 k 的倍数？ 如果把一个子矩形用它的左上角和右下角描述为 $(x_1,y_1,x_2,y_2)$,其中$x_1 \\le x_2,y_1 \\le y_2$ ​:那么，我们认为两个子矩形是不同的，当且仅当他们以 $(x_1,y_1,x_2,y_2)$ 表示时不同；也就是 说，只要两个矩形以 $(x_1,y_1,x_2,y_2)$表示时相同，就认为这两个矩形是同一个矩形，你应该 在你的答案里只算一次。

输入输出格式

输入格式：

从标准输入中读入数据。

输入第一行，包含三个正整数 n,m,k;

输入接下来 n 行，每行包含 m 个正整数，第 i 行第 j 列表示矩阵中第 i 行第 j 列 中所填的正整数 a_{i,j}。

输出格式：

输出到标准输出中。

输入一行一个非负整数，表示你的答案。

样例

Sample Input

2 3 2  
1 2 1  
2 1 2

Sample Output

6

数据范围与说明

样例说明
这些矩形是符合要求的：
(1, 1, 1, 3)，(1, 1, 2, 2)，(1, 2, 1, 2)，(1, 2, 2, 3)，(2, 1, 2, 1)，(2, 3, 2, 3)

数据范围

题解

分析

这道题上来先来一个 $O(N^4)$ 的暴力，使用前缀和；

但是，我们会发现，在枚举每个子矩阵时，有的部分是重复计算的

• i，j枚举子矩阵的上下边界，o枚举我们处理到了第几列，把i、j行之间，右边界是第o列的矩阵压成一个数，之后枚举统计。

• 我们要把 i 到 j 的矩阵变成一行，然后就可以做 （K倍区间） 详细的可以看

链接 http://blog.csdn.net/qq_35776409/article/details/78226120

具体原理:

对于任意一段区间[l,r]的和就是sum[r]-sum[l-1].

(sum[r]-sum[l-1])%k 保证了[l,r]这段区间要么%k等于0 要么比k小.

等于0这表示了正好是k的倍数 然后通过前缀和相同的数据来判断出剩下的k的倍数:$(sum[r]-sum[l-1])%k == 0$.

变形后就是：sum[r]%k==sum[l-1]%k

代码

#include<iostream> 
#include<cstring> 
#include<cstdio> 

using namespace std; 
#define MAXN 410 
typedef long long LL; 
int a[MAXN][MAXN],b[MAXN],cnt[1000005]; 
LL sum[MAXN][MAXN]; 
inline void read(int &x){ 
    x=0; int f=1; char c=getchar(); 
    while(c>\'9\'||c<\'0\'){ if(c==\'-\')f=-1; c=getchar(); } 
    while(c>=\'0\'&&c<=\'9\'){ x=x*10+c-\'0\'; c=getchar(); } x*=f; 
} 

LL Ans = 0; 
int main(){ 
    freopen("rally.in","r",stdin); 
    freopen("rally.out","w",stdout); 
    int n,m,Mod; 
    read(n),read(m),read(Mod); 
    for(int i=1; i<=n; ++i) 
        for(int j=1; j<=m; ++j){ 
            read(a[i][j]); 
            sum[i][j] = (sum[i-1][j] + a[i][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1]); 
            if(sum[i][j] >= Mod) sum[i][j] -= Mod; 
        } 
    for(int i=0; i<n; ++i) 
        for(int j=i+1; j<=n; ++j){ 
            cnt[0] = 1; 
            for(int k=1; k<=m; ++k) { 
                b[k] = (sum[j][k] - sum[i][k] ) % Mod; 
                if(b[k] < 0) b[k] += Mod; 
                Ans += cnt[b[k]]; 
                ++cnt[b[k]]; 
            } 
            for(int k=1; k<=m; ++k) cnt[b[k]] = 0; 
        } 
    printf("%lld\\n",Ans); 
    fclose(stdin); fclose(stdout); 
    return 0; 
}

　　

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