POJ 1061 青蛙的约会 （扩展欧几里德）

Posted 2020-10-23 hinata_hajime

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

分析：
如果它们能够碰面的话，那么可以列出等式
x+m*k(第一只青蛙到的位置）=y+n*k+L*r（第二只青蛙到的位置）(k,r为对应的整数参数)
形式变化为 (m-n)*k-L*r=y-x;(其中只有k和r为未知量）
就转化为了求未知量的解，然后用扩展欧几里德，判断(y-x)%gcd是否为0，如果为0，则有解
，扩展欧几里德就得到一组特解，然后用通解公式，得出题目需要的最小正整数解
代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x, LL &y)
{
  if(b==0)
  {
      x=1;
      y=0;
      return a;
  }
    LL r=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    LL p,q,a,b,L,c,x,y,gcd,ans,l,r,mid,zz,tmp;
    while(cin>>p>>q>>a>>b>>L){
        if(p==q)
        {
            puts("0");
            continue;
        }
    c=p-q;
    gcd=exgcd(b-a,L,x,y);
          zz=L/gcd;
    if(c%gcd!=0)
    puts("Impossible");
    else
    {
      x=x*c/gcd;
      ans=(x%(L/gcd)+L/gcd)%(L/gcd);
      cout<<ans<<endl;
    }
   }
    return 0;
}