BZOJ3091: 城市旅行

Posted 2020-10-21 Blue233333

给个点权树以下操作：两点连边，若已联通则无视；两点删边，若边不存在则无视；一条链加上某个数；以及！！！

查询一条链上任选一条子链的期望权值，一条链的权值为链上所有点的权值的和。

好吧前面三个都是LCT普通操作，第四个呢。。。其实只要会分治地求答案，即合并一个区间的左子区间和右子区间的答案即可。

YY一下可得：一个区间的数字摆在一起，叫做$a_1,a_2,……,a_n$，然后他们的期望就是：$\\frac{\\sum_{i=1}^{n}a_i*i*(n-i+1)}{\\frac{n(n+1)}{2}}$。

下面那部分知道链长度即可，问题是上面那部分要做区间合并还支持区间修改。

看怎么并：

一开始各项系数长这样。然后并起来之后变成：

可以发现左边那部分多了：$3*(1*a_1+2*a_2+……)$，右边那部分多了：$5*(2*a_1+1*a_2)$。

所以就要记一个$lsum=1*a_1+2*a_2+……+n*a_n$，$rsum=n*a_1+(n-1)*a_2+……+1*a_n$，in this way $this->exp=lson->exp+lson->lsum*(rson->size+1)+rson->exp+rson->rsum*(lson->size+1)+(lson->size+rson->size+1)*this->num$。

然后lsum和rsum就很容易合并啦~

然后看怎么加，首先lsum和rsum都是加上$x*\\frac{n(n+1)}{2}$，而exp要加上$x*(1*n+2*(n-1)+……+n*1)$，这坨东西可以把n-1，n-2……的括号拆掉，然后分成两部分推出来，是：$x*\\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$。完美。

  1 #include<string.h>
  2 #include<stdlib.h>
  3 #include<stdio.h>
  4 #include<math.h>
  5 //#include<assert.h>
  6 #include<algorithm> 
  7 //#include<iostream>
  8 //#include<bitset>
  9 using namespace std;
 10  
 11 int n,m;
 12 #define maxn 50011
 13 #define LL long long
 14 LL gcd(LL a,LL b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
 15 struct LCT
 16 {
 17     struct Node
 18     {
 19         int fa,son[2];
 20         bool rev;
 21         LL v,lsum,sum,rsum,exp; int add,size;
 22     }a[maxn];
 23     void makeatree(int id,int v)
 24     {
 25         a[id].fa=a[id].son[0]=a[id].son[1]=a[id].rev=0; a[id].size=1;
 26         a[id].lsum=a[id].rsum=a[id].v=a[id].sum=a[id].exp=v; a[id].add=0;
 27     }
 28     void up(int x)
 29     {
 30         if (!x) return;
 31         int &p=a[x].son[0],&q=a[x].son[1];
 32         a[x].size=a[p].size+a[q].size+1;
 33         a[x].sum=a[p].sum+a[q].sum+a[x].v;
 34         a[x].lsum=a[p].lsum+a[q].lsum+(a[p].size+1)*(a[x].v+a[q].sum);
 35         a[x].rsum=a[p].rsum+a[q].rsum+(a[q].size+1)*(a[x].v+a[p].sum);
 36         a[x].exp=a[p].exp+a[q].exp+(a[p].size+1)*a[q].rsum+(a[q].size+1)*a[p].lsum
 37         +(a[p].size+1)*a[x].v*(a[q].size+1);
 38     }
 39     void addsingle(int x,int v)
 40     {
 41         if (!x) return;
 42         a[x].add+=v; a[x].v+=v;
 43         a[x].sum+=a[x].size*1ll*v;
 44         a[x].lsum+=(((a[x].size+1)*1ll*a[x].size)>>1)*v;
 45         a[x].rsum+=(((a[x].size+1)*1ll*a[x].size)>>1)*v;
 46         a[x].exp+=(1ll*a[x].size*(a[x].size+1)*(a[x].size+2))/6*v;
 47     }
 48     void revsingle(int x)
 49     {
 50         if (!x) return;
 51         a[x].rev^=1;
 52         a[x].son[0]^=a[x].son[1]; a[x].son[1]^=a[x].son[0]; a[x].son[0]^=a[x].son[1];
 53         a[x].lsum^=a[x].rsum; a[x].rsum^=a[x].lsum; a[x].lsum^=a[x].rsum;
 54     }
 55     void down(int x)
 56     {
 57         int &p=a[x].son[0],&q=a[x].son[1];
 58         if (a[x].rev) {revsingle(p); revsingle(q); a[x].rev=0;}
 59         if (a[x].add) {addsingle(p,a[x].add); addsingle(q,a[x].add); a[x].add=0;}
 60     }
 61     bool isroot(int x)
 62     {
 63         if (!a[x].fa) return 1;
 64         return (a[a[x].fa].son[0]!=x && a[a[x].fa].son[1]!=x);
 65     }
 66     int sta[maxn];
 67     void download(int x)
 68     {
 69         int top=0; for (;!isroot(x);x=a[x].fa) sta[++top]=x; sta[++top]=x;
 70         for (;top;top--) down(sta[top]);
 71     }
 72     void rotate(int x)
 73     {
 74         const int y=a[x].fa,z=a[y].fa;
 75         bool w=(x==a[y].son[0]);
 76         a[x].fa=z;
 77         if (!isroot(y)) a[z].son[y==a[z].son[1]]=x;
 78         a[y].son[w^1]=a[x].son[w];
 79         if (a[x].son[w]) a[a[x].son[w]].fa=y;
 80         a[x].son[w]=y;
 81         a[y].fa=x;
 82         up(y); up(z);
 83     }
 84     void splay(int x)
 85     {
 86         if (!x) return;
 87         download(x);
 88         while (!isroot(x))
 89         {
 90             const int y=a[x].fa,z=a[y].fa;
 91             if (!isroot(y))
 92             {
 93                 if ((x==a[y].son[0])^(y==a[z].son[0])) rotate(x);
 94                 else rotate(y);
 95             }
 96             rotate(x);
 97         }
 98         up(x);
 99     }
100     void access(int x)
101     {
102         int y=0,tmp=x;
103         while (x) {splay(x); a[x].son[1]=y; up(x); y=x; x=a[x].fa;}
104         splay(tmp);
105     }
106     void resetroot(int x)
107     {
108         access(x);
109         revsingle(x);
110     }
111     void link(int x,int y)
112     {
113         resetroot(x);
114         a[x].fa=y;
115     }
116     void cut(int x,int y)
117     {
118         resetroot(x);
119         access(y);
120         if (a[y].son[0]!=x || a[x].son[1]) return;
121         a[y].son[0]=a[x].fa=0;
122         up(y);
123     }
124     int findroot(int x)
125     {
126         while (a[x].fa) x=a[x].fa;
127         return x;
128     }
129     void add(int x,int y,int v)
130     {
131         resetroot(x);
132         access(y);
133         addsingle(y,v);
134     }
135     void query(int x,int y)
136     {
137         if (findroot(x)!=findroot(y)) {puts("-1"); return;}
138         resetroot(x);
139         access(y);
140         LL p=a[y].exp,q=(a[y].size+1ll)*a[y].size/2,d=gcd(p,q);
141         printf("%lld/%lld\\n",p/d,q/d);
142     }
143 }t;
144  
145 int main()
146 {
147     scanf("%d%d",&n,&m);
148     for (int i=1,v;i<=n;i++) scanf("%d",&v),t.makeatree(i,v);
149     for (int i=1,x,y;i<n;i++)
150     {
151         scanf("%d%d",&x,&y);
152         t.link(x,y);
153     }
154     int id,x,y,z;
155     while (m--)
156     {
157         scanf("%d",&id);
158         if (id==1)
159         {
160             scanf("%d%d",&x,&y);
161             t.cut(x,y);
162         }
163         else if (id==2)
164         {
165             scanf("%d%d",&x,&y);
166             if (t.findroot(x)!=t.findroot(y)) t.link(x,y);
167         }
168         else if (id==3)
169         {
170             scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
171             if (t.findroot(x)==t.findroot(y)) t.add(x,y,z);
172         }
173         else if (id==4)
174         {
175             scanf("%d%d",&x,&y);
176             t.query(x,y);
177         }
178     }
179     return 0;
180 }

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