矩阵及矩阵运算

Posted 2020-10-20 柯腾_wjf

矩阵：一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。
单位矩阵：从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。
对称矩阵：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

矩阵加减法：两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减，满足交换律和结合律。只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

矩阵乘法：矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（ n )，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。
1.矩阵与数的乘法：数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．满足结合律和分配律。

2.矩阵与矩阵的乘法：只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。一个m×n的矩阵a（m,n)左乘一个n×p的矩阵b（n,p)，会得到一个m×p的矩阵c（m,p)，矩阵乘法满足结合率，但不满足交换率。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵。方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用。运算规则：
　　设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．
　　(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
(3)两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．

矩阵转置：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．第i行变第J列。Aij变成Aji。
运算性质（假设运算都是可行的）
　　(1)　
　　(2)　
　　(3)　
　　(4)　，是常数．

矩阵行列式：基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量；
二维矩阵[{a,c},{b,d}]的行列式等于：det(A) = ab-cd。
n维矩阵的行列式：假设矩阵A为n维的方阵，定义Aij为从A中删除第i行、第j列之后剩下的n-1维方阵。
可以沿着A的第一行来求取行列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是一个递归的定义，包含n项，每一项的正负号等于 （-1)的(i+j)次方。
实际上可以对A的任意一行、任意一列按上面的方法来求取行列式，可以挑选包含0比较多得行(列)。
两个二维向量v1，v2，可以作为平行四边形的临边来定义一个平行四边形。两个向量构成矩阵A={v1，v2}，那么平行四边形的面积 = det(A)的绝对值。
矩阵行列式的一些规律
1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri\',...rn} C={r1,r2,...ri+ri\',...rn}，则有det(C) = det(A)+det(B)
2)如果矩阵A有两行（列）相等则，det(A) = 0
3)如果矩阵A将两行交换后得到矩阵B，则有det(A)=-det(B)
4)如果矩阵A进行行变换后得到矩阵B，则有det(A)=det(B)；可以通过行变换达到3)的效果，这个过程中会发生-1数乘某行。