[HNOI2012]射箭

Posted 2020-10-20 kakakakakaka

Description

沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶 子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出 现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关

Input

输入文件第一行是一个正整数N，表示一共有N关。接下来有N行，第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi，yi1，yi2(yi1<yi2 )，表示第i关出现的靶子的横坐标是xi，纵坐标的范围是从yi1到yi2 。 
 输入保证30%的数据满足N≤100，50%的数据满足N≤5000，100%的数据满足N≤100000且给 出的所有坐标不超过109 。 
 

Output

仅包含一个整数，表示最多的通关数。

Sample Input

5
2 8 12
5 4 5
3 8 10
6 2 3
1 3 7

Sample Output

3

HINT

 

 

题解：

这道题我们不难发现，每一个抛物线都是过原点的，所以显然：$$y=ax^2+bx$$

由于这道题题目中的“靶子”都是纵向的竖线，即满足：$$y_1≤ax^2+bx≤y_2$$

所以:

$$
f(n) =
\begin{cases}
b≥ \frac{y_1}{x}-ax\\
b≤ \frac{y_2}{x}-ax
\end{cases}
$$

我们可以发现每一个关卡就是一组这样的不等式，

那么我们将a作为x轴，b作为y轴，因为每次的x，y1，y2都是确定的，那么每一关就相当于一条直线，用半平面交就可以确定了。

半平面交O(nlogn)算法参考数学一本通P266中朱泽园提出的“排序增量算法”

论文网址

//Never forget why you start
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define double long double
#define inf (1e15)
using namespace std;
int n,m;
struct point {
    double x,y;
    friend double operator * (const point a,const point b) {
        return a.x*b.y-a.y*b.x;//向量叉乘 
    }
    friend point operator - (const point a,const point b) {
        point ans;
        ans.x=a.x-b.x;
        ans.y=a.y-b.y;
        return ans;//向量相减 
    }
};
struct line {
    point a,b;
    int id;
    double k;
    friend bool operator < (const line a,const line b) {
        if(a.k==b.k)return (a.b-a.a)*(b.a-a.a)>0;//向量叉乘表示a比b小 
        else return a.k<b.k;//重载小于号，先按级角排序，如果级角相同，越靠左的越小 
    }
} l[200010],a[200010],q[200010];
point suan(line a,line b) {
    double k1,k2,t;
    k1=(b.b-a.a)*(a.b-a.a);
    k2=(a.b-a.a)*(b.a-a.a);
    t=k2/(k1+k2);
    point p;
    p.x=b.a.x+t*(b.b.x-b.a.x);
    p.y=b.a.y+t*(b.b.y-b.a.y);
    return p;
}//计算两个向量的交点 
double cal(double a,double b,double x) {
    return b/a-a*x;
}//计算一个直线上f(x) 
bool pd(line a,line b,line c) {
    point p=suan(a,b);
    return (p-c.a)*(c.b-c.a)>0;
}//判断是否要出栈，即当前向量是否在上一交点的左侧 
bool judge(int mid) {
    int i,cnt=0;
    for(i=1; i<=m; i++) {
        if(l[i].id<=mid) {
            if(l[i].k!=a[cnt].k)cnt++;
            a[cnt]=l[i];
        }
    }//将前mid关的靶子放入a[]中 
    int l=1,r=0;
    q[++r]=a[1];
    q[++r]=a[2];
    for(i=3; i<=cnt; i++) {
        while(l<r&&pd(q[r-1],q[r],a[i]))r--;
        while(l<r&&pd(q[l+1],q[l],a[i]))l++;
        q[++r]=a[i];
    }
    while(l<r&&pd(q[r-1],q[r],q[l]))r--;
    while(l<r&&pd(q[l+1],q[l],q[r]))l++;//因为是一个环，所以首尾都要尽可能的出栈 
    return r-l>=2;//如果最终r-l>=2则说明至少有合法的半平面交存在 
}
int main() {
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    l[++m].a=(point){-inf,-inf};l[m].b=(point){inf,-inf};
    l[++m].a=(point){inf,-inf};l[m].b=(point){inf,inf};
    l[++m].a=(point){inf,inf};l[m].b=(point){-inf,inf};
    l[++m].a=(point){-inf,inf};l[m].b=(point){-inf,-inf};//算法要求，必须要在四周加上边界 
    for(i=1; i<=n; i++) {
        double x,ya,yb;
        scanf("%Lf%Lf%Lf",&x,&ya,&yb);
        l[++m].a.x=-1;l[m].a.y=cal(x,ya,-1);
        l[m].b.x=1;l[m].b.y=cal(x,ya,1);
        l[++m].a.x=1;l[m].a.y=cal(x,yb,1);
        l[m].b.x=-1;l[m].b.y=cal(x,yb,-1);
        l[m].id=l[m-1].id=i;
    }
    for(i=1; i<=m; i++)
        l[i].k=atan2(l[i].b.y-l[i].a.y,l[i].b.x-l[i].a.x);//这个函数可以直接计算出级角 
    sort(l+1,l+m+1);//将级角从小到大排序 
    int l=1,r=n,ans=0;
    while(l<=r) {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(judge(mid))ans=mid,l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }//二分答案 
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}