bzoj2732[HNOI2012]射箭 二分+半平面交

Posted 2020-10-06 GXZlegend

题目描述

沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶 子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出 现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关

输入

输入文件第一行是一个正整数N，表示一共有N关。接下来有N行，第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi，yi1，yi2(yi1<yi2 )，表示第i关出现的靶子的横坐标是xi，纵坐标的范围是从yi1到yi2 。 
输入保证30%的数据满足N≤100，50%的数据满足N≤5000，100%的数据满足N≤100000且给 出的所有坐标不超过109 。 

输出

仅包含一个整数，表示最多的通关数。

样例输入

5
2 8 12
5 4 5
3 8 10
6 2 3
1 3 7

样例输出

3

---

题解

二分+半平面交

题目一眼二分答案（别问我怎么看出的。。做题的经验告诉的我），然后转化为判定性问题。

那么如何判断能否满足条件？考虑每个限制条件：$\begin{cases}ax_i^2+bx_i\ge y_i\\ax_i^2+bx_i\le z_i\end{cases}$。

这里面的ab是变量，那么可以将限制条件看做是aOb平面直角坐标系上的几何限制条件，不等式有解<=>限制的条件有公共部分。

所以将限制条件转化为半平面求交即可。

真简单= =

本体最恶心之处在于细节、细节、细节。。。只有细节。。。

细节1：a必须小于0，b必须大于0，因此需要将半平面交限制在第二象限，所以需要添加两条辅助线。。。
细节2：判断半平面是否有交，需要保证有交的时候交需要是一个封闭多边形。因此需要再加两条辅助线。。。
细节3：eps这个东西是真的烦人。。。本题的eps应设为1e-18，且只在处理限制条件时加（因为等于的时候也算满足条件）和限制象限时加（因为不能等于），其余时候不能加。并且需要使用long double。
细节4：本题卡常。。。所以所有小函数必须加inline不然会GG。。。排序是需要先把极角预处理出来，不能在比较时现求，否则也会GG。。。

直接上代码吧：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 200010
#define eps 1e-18
using namespace std;
typedef long double ld;
struct point
{
    ld x , y;
    point() {}
    point(ld a , ld b) {x = a , y = b;}
    point operator+(const point &a)const {return point(x + a.x , y + a.y);}
    point operator-(const point &a)const {return point(x - a.x , y - a.y);}
    point operator*(const ld &a)const {return point(x * a , y * a);}
}p[N];
struct line
{
    point p , v;
    ld ang;
    line() {}
    line(ld a , ld b , ld c , ld d) {p = point(a , b) , v = point(c , d) , ang = atan2(v.y , v.x);}
}a[N] , q[N];
ld px[N] , py[N] , pz[N];
inline ld cross(point a , point b) {return a.x * b.y - a.y * b.x;}
inline bool left(line a , point b) {return cross(a.v , b - a.p) > 0;}
inline point inter(line a , line b)
{
    point u = a.p - b.p;
    ld tmp = cross(b.v , u) / cross(a.v , b.v);
    return a.p + a.v * tmp;
}
bool cmp(const line &a , const line &b)
{
    return a.ang == b.ang ? left(a , b.p) : a.ang < b.ang;
}
bool judge(int mid)
{
    int i , tot = 1 , l = 1 , r = 1;
    for(i = 1 ; i <= mid ; i ++ ) a[i] = line(0 , py[i] / px[i] - eps , -1 , px[i]) , a[i + mid] = line(0 , pz[i] / px[i] + eps , 1 , -px[i]);
    a[mid * 2 + 1] = line(-eps , eps , 0 , -1) , a[mid * 2 + 2] = line(-eps , eps , -1 , 0);
    a[mid * 2 + 3] = line(-1e10 , 1e10 , 0 , 1) , a[mid * 2 + 4] = line(-1e10 , 1e10 , 1 , 0);
    sort(a + 1 , a + mid * 2 + 5 , cmp);
    for(i = 2 ; i <= mid * 2 + 4 ; i ++ )
        if(a[i].ang != a[i - 1].ang)
            a[++tot] = a[i];
    q[1] = a[1];
    for(i = 2 ; i <= tot ; i ++ )
    {
        while(l < r && left(a[i] , p[r - 1])) r -- ;
        while(l < r && left(a[i] , p[l])) l ++ ;
        q[++r] = a[i];
        if(l < r) p[r - 1] = inter(q[r - 1] , q[r]);
    }
    while(l < r && left(q[l] , p[r - 1])) r -- ;
    p[r] = inter(q[r] , q[l]);
    return r - l > 1;
}
int main()
{
    int n , i , l = 1 , r , mid , ans = 0;
    scanf("%d" , &n) , r = n;
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%Lf%Lf%Lf" , &px[i] , &py[i] , &pz[i]);
    while(l <= r)
    {
        mid = (l + r) >> 1;
        if(judge(mid)) ans = mid , l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    printf("%d\n" , ans);
    return 0;
}