网络流24题9方格取数问题

Posted 2020-10-19 租酥雨

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题目描述
在一个有 m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意 2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。
输入格式：
第 1 行有 2 个正整数 m 和 n，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的 m 行，每行有 n 个正整数，表示棋盘方格中的数。
输出格式：
程序运行结束时，将取数的最大总和输出
输入输出样例
输入样例#1：

3 3
1 2 3
3 2 3
2 3 1 

输出样例#1：

11

说明
m,n<=100

sol

最大独立集=\(\sum\)点权-最小顶点覆盖
观察图可知这是一个二分图（按横纵坐标之和的奇偶分成两边）
所以二分图的最小顶点覆盖就是最小割
（可以理解为，每一条边设为\(inf\)，那么边两端的点就至少有一个要被割掉，满足最小顶点覆盖的定义）
最小割=最大流

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
#define inf 1000000000
const int _ = 100005;
struct edge{int to,next,w;}a[_<<1];
int n,m,s,t,head[_],cnt=1,dep[_],cur[_],sum,ans;
queue<int>Q;
void link(int u,int v,int w)
{
    a[++cnt]=(edge){v,head[u],w};
    head[u]=cnt;
    a[++cnt]=(edge){u,head[v],0};
    head[v]=cnt;
}
bool bfs()
{
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    dep[s]=1;Q.push(s);
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
            if (a[e].w&&!dep[a[e].to])
                dep[a[e].to]=dep[u]+1,Q.push(a[e].to); 
    }
    return dep[t];
}
int dfs(int u,int flow)
{
    if (u==t)
        return flow;
    for (int &e=cur[u];e;e=a[e].next)
        if (a[e].w&&dep[a[e].to]==dep[u]+1)
        {
            int temp=dfs(a[e].to,min(flow,a[e].w));
            if (temp) {a[e].w-=temp;a[e^1].w+=temp;return temp;}
        }
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);s=n*m+1;t=s+1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            int val;scanf("%d",&val);
            if ((i+j)&1) 
            {
                link(s,i*m-m+j,val);
                if (i>1) link(i*m-m+j,i*m-2*m+j,inf);
                if (i<n) link(i*m-m+j,i*m+j,inf);
                if (j>1) link(i*m-m+j,i*m-m+j-1,inf);
                if (j<m) link(i*m-m+j,i*m-m+j+1,inf);
            }
            else link(i*m-m+j,t,val);
            sum+=val;
        }
    while (bfs())
    {
        for (int i=t;i;i--) cur[i]=head[i];
        while (int temp=dfs(s,inf)) ans+=temp;
    }
    printf("%d\n",sum-ans);
    return 0;
}