POJ2409 Let it Bead

Posted 2020-10-19 大奕哥&VANE

一道好题。

我们考虑旋转和翻转的循环节个数就可以了。

先说旋转：

旋转应该是朝着一个方向从旋转1个到n个

此时循环节个数为1

此时循环节个数为2

从上面两个我们可以看出旋转长度为k时，循环节长度为lcm(n,k)/k,所以循环节个数为n/lcm(n,k)/k=gcd(n,k)

再说翻转：

考虑奇偶

奇：

循环节个数为3

共可以翻转n次循环节长度为n/2，所以循环节个数为(n+1)/2

偶：

分两种情况讨论

循环节个数为2

共可以左右对称n/2次，循环节长度为2，循环节个数为n/2个

循环节个数为3

共可以对角线对称n/2次，循环节长度为2，循环节个数为(n-2)/2+2个

所以到这里我们就把所有情况讨论了。

 

代码 By：大奕哥

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 using namespace std;
 7 int n,m,sum;
 8 int gcd(int x,int y)
 9 {
10     if(!y)return x;
11     return gcd(y,x%y);
12 }
13 int quick_mod(int a,int b)
14 {
15     int ans=1;
16     while(b)
17     {
18         if(b&1)ans=ans*a;
19         a=a*a;b>>=1;
20     }
21     return ans;
22 }
23 int main()
24 {
25     while(~scanf("%d%d",&m,&n)&&n&&m)
26     {
27         sum=0;for(int i=1;i<=n;++i)sum+=quick_mod(m,gcd(n,i));
28         if(n&1)sum+=n*quick_mod(m,(n+1)/2);
29         else sum+=(n/2)*(quick_mod(m,n/2)+quick_mod(m,(n+2)/2));
30         sum=sum/(n*2);printf("%d\\n",sum);
31     }
32     return 0;
33 }