Manacher模板（O（n）内求最长回文串长度）

Posted 2020-10-18 Go

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由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，在字符间插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。举个例子：s="abbahopxpo"，转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。
??定义一个辅助数组int p[]，p[i]表示以s_new[i]为中心的最长回文的半径，例如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#	o	#
p[i]		1	2	1	4	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	6	1	2	1	2	1

可以看出，p[i]-1正好是原字符串中最长回文串的长度。
??Manacher算法之所以快，就快在对 p 数组的求法上有个捷径。在我们解决了奇偶回文的繁琐时，剩下的难点就是求 p 数组，按照普通思维，我们是这样求解的：求解p[i]，先初始化p[i]=1，再以s_new[i]为中心判断两边是否相等，相等就p[i]++。这就是普通的思维，但是我们想想，能否让p[i]的初始化不是 1，让它更大点，看下图：

??设置两个变量，mx 和 id 。
??mx 代表以s_new[id]为中心的最长回文最右边界，也就是mx=id+p[id]。
??假设我们现在求p[i]，也就是以s_new[i]为中心的最长回文半径，如果i<mx，如上图，那么：

 if (i < mx)  
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id -i其实就是等于 j ，p[j]表示以s_new[j]为中心的最长回文半径，见上图，因为 i 和 j 关于 id 对称，我们利用p[j]来加快查找。

*/

时间复杂度：O（n）

应用：

求最长回文串长度

求原串以每个字符为中心的奇数长度回文串的长度

代码如下：

//S用来放原串，CS用来放新串
char S[maxn],CS[maxn<<1];
int P[maxn];
int Init(){
    int len=strlen(S);
    CS[0]=‘$‘;
    CS[1]=‘#‘;
    int cnt=2;
    for(int i=0;i<len;i++){
        CS[cnt++]=S[i];
        CS[cnt++]=‘#‘;
    }
    CS[cnt]=‘\0‘;
    return cnt;
}
int Manacher(){
    int len=Init();
    int ans=-1;
    int id,mx=0;
    for(int i=1;i<len;i++){
        if(i<mx) P[i]=min(P[2*id-i],mx-i);
        else P[i]=1;
        while(CS[i-P[i]]==CS[i+P[i]]) P[i]++;
        if(mx<i+P[i]){
            id=i;
            mx=i+P[i];
        }
        ans=max(ans,P[i]-1);
    }
    return ans;
}