散列的基本概念构造散列函数以及解决冲突

Posted 2020-10-18 大峰子的博客

定义

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　　散列表（Hash Table,也称哈希表)，是一种根据键（Key）而直接访问在内存存储位置的数据结构。也就是说，它通过计算一个关于键值的函数，将所需查询的数据映射到表中一个位置来访问记录，这加快了查找速度。这个映射函数称为散列函数，存放记录的数组称做散列表。

 

概念

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1、若其关键字为k，则其值存放在 f(k) 的存储位置上。因此不需要比较即可直接取得所查记录。称这个对应关系 f 为散列函数，按照这个思想建立的表叫散列表。

2、对不同的关键字可能得到同一个散列地址，即k1 ！= k2,而 f(k1) = f(k2)，这种情况称之为冲突(Collision)。具有相同函数值的关键字对该散列函数来说称为同义词(Synonym)。

3、综上所述，根据散列函数 f(k) 和处理冲突的方法将一组关键字映射到一个有限的连续的地址集（区间）上，并以关键字在地址集中的“像”作为记录在表中的存储位置，这种表便称为散列表，这一映射过程称为散列造表或者是散列，所得的存储位置称散列地址。

4、若对于关键字集合中的任一个关键字，经散列函数映象到地址集合中任何一个地址的概率是相等的，则称此类散列函数为均匀散列函数（Uniform Hash function），这就是使关键字经过散列函数得到一个“随机的地址”，从而减少冲突。

 

Hash函数的构造方法

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　　散列函数能使对一个数据序列的访问过程更加迅速有效，通过散列函数，数据元素将被更快定位。

影响哈希查找效率的一个重要因素是哈希函数本身。当两个不同的数据元素的哈希值相同时，就会发生冲突。为减少发生冲突的可能性，哈希函数应该将数据尽可能分散地映射到哈希表的每一个表项中。

下面是几种定址方法：

1、直接定址法：取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。即 Hash(k) = k 或 hash(k) = ak+b，其中 a b为常数（这种散列函数叫做自身函数）

2、数字分析法：假设关键字是以r为基的数，并且哈希表中可能出现的关键字都是事先知道的，则可取关键字的若干数位组成哈希地址。比如有一组value1=112233，value2=112633，value3=119033，针对这样的数我们分析数中间两个数比较波动，其他数不变。那么我们取key的值就可以是key1=22,key2=26,key3=90。

3、平方中取法：取关键字平方后的中间几位为哈希地址。通常在选定哈希函数时不一定能知道关键字的全部情况，取其中的哪几位也不一定合适，而一个数平方后的中间几位数和数的每一位都相关，由此使随机分布的关键字得到的哈希地址也是随机的。取的位数由表长决定。

4、折叠法：将关键字分割成位数相同的几部分（最后一部分的位数可以不同），然后取这几部分的叠加和（舍去进位）作为哈希地址。举个例子，比如value=135790，要求key是2位数的散列值。那么我们将value变为13+57+90=160，然后去掉高位“1”,此时key=60，这就是他们的哈希关系，这样做的目的就是key与每一位value都相关，来做到“散列地址”尽可能分散的目地。

5、随机数法

6、除留余数法：取关键字被某个不大于散列表表长m的数p除后所得的余数为散列地址，即hash(k) = k mod p, p <= m。不仅可以对关键字直接取模，也可在折叠法、平方取中法等运算之后取模。对p的选择很重要，一般取素数或m，若p选择不好，容易产生冲突。

 

处理冲突的办法

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　　为了知道冲突产生的相同散列函数地址所对应的关键字，必须选用另外的散列函数，或者对冲突结果进行处理。而不发生冲突的可能性是非常之小的，所以通常对冲突进行处理。常用的办法如下：

 

1、链接地址法：

将哈希值相同的数据元素存放在一个链表中，在查找哈希表的过程中，当查找到这个链表时，必须采用线性查找方法。

举个例子：关键字为{ 41,26,68,15,44,6,36,38,12,51}的一组数据插入散列表，并假定以关键字除以13的余数为散列函数的法则。

 

2、开放定址法：

　　公式：

　　其中 hash(key) 为散列函数，m 为散列表长，di 为增量序列，i为已发生的冲突次数。

　　增量序列有下面三种取法：

　　　　I）di = 1,2,3...m-1 称为线性探测（Linear Probing）即 di = i，或者为其他线性函数。相当于逐个探测存放地址的表，如果为空，把数据放在空的位置。

　　　　II）di = (+ 1^2) or (- 1^2),(+ 2^2) or (- 2^2) ... + (k^2) or (- k^2) 称为平方探测（Quadratic Probing）  相对于线性探测，相当于发生冲突时探测间隔 di = i^2 个单元的位置是否为空，如果为空则把数据放到空的位置。

　　　　III）di = 伪随机数序例，称为伪随机探测。

　　给出一个用线性探测填装一个散列表的过程：

　　关键字为{89,18,49,58,69}插入到一个散列表中的情况，此时线性探测的方法是取 di = i，并假定取关键字除以10的余数为散列函数法则。

　　第一次冲突发生在填装49的时候。地址为9的单元已经填装了89这个关键字，所以取 i = 1，往下查找一个单位，发现为空，所以将49填装在地址为0的空单元。第二次冲突则发生在58上，取 i = 2，往下查找两个单位，将58填装在地址为1的空单元。69同理。

表的大小选取至关重要，此处选取10作为大小，发生冲突的几率就比选择质数11作为大小的可能性大。越是质数，mod取余就越可能均匀分布在表的各处。

 

3、再散列：

　　公式：

　　Hashi 是某些散列函数。即上次散列发生冲突时，利用该冲突地址进行再散列，直到冲突不再发生。该办法不易发生分布不均匀的情况，但增加了计算时间。

　　举个例子，现有一序列 <37, 83, 97, 78, 14, 59, 25, 72>，画出构建哈希表的过程，哈希函数是 hash(i) = i mod 11，解决冲突的办法是再散列( mod 9)。

　　前五个插入都没有问题。当插入 59 时，h(59,0) = (59 mod 11 ) mod 11 = 4，位置 4 与 37 冲突，继续计算。冲突 1 次，i = 1，h(59,1) = (59 mod 11 + 1*(1+59 mod 9)) mod 11 = 10，位置 10 空，59 插入到位置 10 。如果再冲突，那么 i = 2，继续计算，以此类推。25 和 72 类似。

 

ASL_{成功/不成功} 的求法

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　　关于哈希表求查找成功与查找成功时的平均查找长度的题目，我觉得这篇博客说的不错。