BZOJ 2226 [Spoj 5971] LCMSum
这道题和上一道题十分类似。
\\[\\begin{align*}
\\sum_{i = 1}^{n}\\operatorname{LCM}(i, n) &= \\sum_{i = 1}^{n}\\frac{i \\times n}{\\operatorname{gcd}(i, n)}\\\\
&= n \\times \\sum_{i = 1}^{n}\\frac{i}{\\operatorname{gcd}(i, n)}
\\end{align*}\\]
设\\(d = \\operatorname{gcd}(i, n)\\)，则\\(d | n\\)且\\(\\operatorname{gcd}(\\frac{i}{d}, \\frac{n}{d}) = 1\\)。
则每个\\(n\\)的因数\\(d\\)的贡献是小于等于\\(d\\)的所有数（\\(\\frac{i}{d}\\)）之和。而这个值等于\\(\\frac{\\phi(d) * d}{2}\\)。
所以答案就是:
\\[\\sum_{d | n}\\frac{\\phi(d) * d}{2}
\\]
注意这道题卡常卡得非常难受，所以能预处理的都预处理吧。
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define space putchar(\' \')
#define enter putchar(\'\\n\')
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void read(T &x){
char c;
bool op = 0;
while(c = getchar(), c > \'9\' || c < \'0\')
if(c == \'-\') op = 1;
x = c - \'0\';
while(c = getchar(), c >= \'0\' && c <= \'9\')
x = x * 10 + c - \'0\';
if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
if(x < 0) putchar(\'-\'), x = -x;
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(\'0\' + x % 10);
}
const int N = 1000000;
int T, n, lst[N + 5], cnt;
bool notprime[N + 5];
ll ans, phi[N + 5];
void init(){
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= N; i++){
if(!notprime[i]) lst[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j = 1; j <= cnt && lst[j] * i <= N; j++){
notprime[lst[j] * i] = 1;
if(i % lst[j] == 0){
phi[lst[j] * i] = lst[j] * phi[i];
break;
}
phi[i * lst[j]] = phi[i] * (lst[j] - 1);
}
}
for(int i = 2; i <= N; i++)
phi[i] = phi[i] * i / 2;
}
int main(){
init();
read(T);
while(T--){
read(n);
ans = 0;
for(int i = 1; i * i <= n; i++)
if(n % i == 0){
ans += phi[i];
if(i * i < n) ans += phi[n / i];
}
write(ans * n), enter;
}
return 0;
}