BZOJ1492 货币兑换 CDQ分治优化DP

Posted 2020-10-17 LadyLex

1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下

简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，

两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的

价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法

。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将

 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑

换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接

下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：

假定在第一天时，用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经

知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能

够获得多少元钱。

 

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B

K、RateK，意义如题目中所述。

测试数据设计使得精度误差不会超过10^-7。
对于40%的测试数据，满足N ≤10；
对于60%的测试数据，满足N ≤1 000；
对于100%的测试数据，满足N ≤100 000；

对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤10^9。

【提示】

1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

2.必然存在一种最优的买卖方案满足：

每次买进操作使用完所有的人民币；

每次卖出操作卖出所有的金券。

 

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

 

（转载请注明原文地址：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/8028556.html ）

终于把CDQ维护凸壳学了……

那么既然题目已经给提示2了，我们就可以针对性的设$f[i]$为第i天获得的最多A券数，$ans[i]$为第i天的最大获利，那么我们要求的就是ans[n]了。

这个dp显然是可以$O(n^{2})$解决的……但是这样拿不了后面的分数。

然后你就想啊，肯定要优化啊……然后你就可以化出一个斜率的式子来。

对于$ans[i]$的决策，我们设两天j和k，j比k优秀的话，就会有

$(f[j]-f[k])*a[i]+(f[j]/rate[j]-f[k]/rate[k])*b[i]>0$

再设$g[i]=f[i]/rate[i]$（也就是第i天获得的最多B券数），为了处理不等式的符号我们设$f[j]<f[k]$

所以有：

$(g[j]-g[k])*b[i]>-(f[j]-f[k])*a[i]$

$(g[j]-g[k])/(f[j]-f[k])<-a[i]/b[i]$

(当然，实际情况是有$f[j]==f[k]$，即斜率不存在的情况存在的，到时候还要讨论。）

那么我们转化到一些坐标为(f[i],g[i])的二维平面的点上来。

我们建立一个这些点的上凸壳,然后在凸壳上二分最靠左的最后一个满足$k(point(x),point(x+1))<-a[i]/b[i]$的点x，

那么$x+1$就是最优秀的取值，也即本次决策点。

但是你发现这个f[i]不随i单调……那么我们考虑splay或者CDQ

打个J的splay啊

那么我们CDQ维护凸壳并且决策就好了……

具体实现是让$f[i]$有序之后按照正常方法建凸壳，然后让$-a[i]/b[i]$有序（我是从大到小排序），单调扫一边完成决策。

怎么让这俩有序呢……一是大力sort，复杂度$O(nlog^{2}n)$，一是归并排序，复杂度$O(nlogn)$

两种方法我都打了一下……感觉少个$logn$没快到哪去，也没长到哪去……

如果复杂度可行还是打$log^{2}$吧……

两份代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 #define eps 1e-8
 6 #define N 100010
 7 #define db double
 8 #define inf 0x7fffffff
 9 #define sign(a) (((a)>-eps)-((a)<eps))
10 int n,top,sta[N],id[N],tmp[N],idk[N],tmpk[N],match[N];
11 db ans[N],ak[N],bk[N],rate[N],f[N],g[N];
12 inline db max(db a,db b){return a>b?a:b;}
13 inline bool comp(const int &a,const int &b)
14     {return f[a]<f[b] || ( sign(f[a]-f[b])==0&&g[a]<g[b] );}
15 inline double k(int a,int b)
16 {
17     if(sign(f[a]-f[b])==0)return sign(g[a]-g[b])*inf;
18     return (g[a]-g[b])/(f[a]-f[b]);
19 }
20 inline bool compk(const int &a,const int &b)
21     {return sign( (-ak[a]/bk[a]) - (-ak[b]/bk[b]) ) >0 ;}
22 inline void CDQ(int l,int r)
23 {
24     if(l==r){g[l]=f[l]/rate[l];return;}
25     register int hd1,i,t,mi=l+r>>1,p=l-1,q=mi,h=l-1;
26     for(i=l;i<=r;++i)
27         if(match[idk[i]]<=mi)tmpk[++p]=idk[i];
28         else tmpk[++q]=idk[i];
29     for(i=l;i<=r;++i)idk[i]=tmpk[i];
30     CDQ(l,mi);
31     for(top=0,i=l;i<=mi;++i)
32     {
33         while(top>1 && k(sta[top-1],sta[top]) < k(sta[top],id[i]) )--top;
34         sta[++top]=id[i];
35     }
36     for(hd1=1,i=mi+1;i<=r;++i)
37     {
38         t=match[idk[i]];
39         while(  hd1<top&&sign(  k(sta[hd1],sta[hd1+1]) - (-ak[t]/bk[t]) ) >=0  )++hd1;
40         ans[t]=max(ans[t],f[sta[hd1]]*ak[t]+g[sta[hd1]]*bk[t]);
41     }
42     for(i=mi+1;i<=r;++i)
43         t=match[idk[i]],ans[t]=max(ans[t],ans[t-1]),f[t]=ans[t]*rate[t]/(ak[t]*rate[t]+bk[t]);
44     CDQ(mi+1,r);
45     p=l,q=mi+1,h=l;
46     while(p<=mi&&q<=r)
47         if(comp(id[p],id[q]))tmp[h++]=id[p++];
48         else tmp[h++]=id[q++];
49     while(p<=mi)tmp[h++]=id[p++];
50     while(q<=r)tmp[h++]=id[q++];
51     for(i=l;i<=r;++i)id[i]=tmp[i];
52 }
53 int main()
54 {
55     register int i,j;
56     scanf("%d%lf",&n,&ans[1]);
57     for(i=1;i<=n;++i)
58         scanf("%lf%lf%lf",&ak[i],&bk[i],&rate[i]);
59     f[1]=ans[1]*rate[1]/(ak[1]*rate[1]+bk[1]);
60     for(i=1;i<=n;++i)id[i]=idk[i]=match[i]=i;
61     sort(match+1,match+n+1,compk);
62     CDQ(1,n);
63     printf("%.3f\\n",ans[n]);
64 }

nlogn

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 #define eps 1e-8
 6 #define N 100010
 7 #define db double
 8 #define inf 0x7fffffff
 9 #define sign(a) (((a)>-eps)-((a)<eps))
10 int n;
11 db ans[N],ak[N],bk[N],rate[N],f[N],g[N];
12 inline db max(db a,db b){return a>b?a:b;}
13 int top,sta[N];
14 int id[N],tmp[N],idk[N];
15 inline bool comp(const int &a,const int &b)
16 {
17     return f[a]<f[b] || ( sign(f[a]-f[b])==0&&g[a]<g[b] );
18 }
19 inline double k(int a,int b)
20 {
21     if(sign(f[a]-f[b])==0)
22         return sign(g[a]-g[b])*inf;
23     return (g[a]-g[b])/(f[a]-f[b]);
24 }
25 inline bool compk(const int &a,const int &b)
26 {
27     return sign( (-ak[a]/bk[a]) - (-ak[b]/bk[b]) ) >0 ;
28 }
29 inline void CDQ(int l,int r)
30 {
31     if(l==r){g[l]=f[l]/rate[l];return;}
32     register int hd1,i,mi=l+r>>1;
33     CDQ(l,mi);
34     for(i=mi+1;i<=r;++i)id[i]=i;sort(id+l,id+mi+1,comp);
35     for(i=mi+1;i<=r;++i)idk[i]=i;sort(idk+mi+1,idk+r+1,compk);
36     for(top=0,i=l;i<=mi;++i)
37     {
38         while(top>1 && k(sta[top-1],sta[top]) < k(sta[top],id[i]) )--top;//****
39         sta[++top]=id[i];
40     }
41     for(hd1=1,i=mi+1;i<=r;++i)
42     {
43         while(  hd1<top&&sign(  k(sta[hd1],sta[hd1+1]) - (-ak[idk[i]]/bk[idk[i]]) ) >=0  )++hd1;
44             ans[idk[i]]=max(ans[idk[i]],f[sta[hd1]]*ak[idk[i]]+g[sta[hd1]]*bk[idk[i]]);
45     }
46     for(i=mi+1;i<=r;++i)
47         ans[i]=max(ans[i],ans[i-1]),f[i]=ans[i]*rate[i]/(ak[i]*rate[i]+bk[i]);
48     CDQ(mi+1,r);
49 }
50 int main()
51 {
52     register int i,j;
53     scanf("%d%lf",&n,&ans[1]);
54     for(i=1;i<=n;++i)
55         scanf("%lf%lf%lf",&ak[i],&bk[i],&rate[i]);
56     f[1]=ans[1]*rate[1]/(ak[1]*rate[1]+bk[1]);
57     for(i=1;i<=n;++i)id[i]=i;
58     CDQ(1,n);
59     printf("%.3f\\n",ans[n]);
60 }

nlog^2n