BZOJ 1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

Posted 2020-10-17 _patrick

BZOJ 1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <

= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价

格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要

付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N

* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100
输入解释:
共有4块土地.

Sample Output

500
FJ分3组买这些土地:
第一组:100x1,
第二组1x100,
第三组20x5 和 15x15 plot.
每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

HINT

Source

Gold

Solution

这道题一看就是划分性dp，但一开始却一直没想到（以为x,y双单调）
把点抽象成矩阵里的点，解决点包含之后，显然是一个y单调下降的点集，则：
\(f[i]=min\{f[j]+w(j+1,i)\},(j<i)\)
\(w(j+1,i)=x[i]*y[j+1]\)，即：
\(f[i]=min\{f[j]+x[i]*y[j+1]\},(j<i)\)
\(x[i]\)单调增，设j比k优：
\(f[j]+x[i]*y[j+1]<f[k]+x[i]*y[k+1]\) ，\(\frac{f[j]-f[k]}{y[k+1]-y[j+1]}<x[i]\)
斜率优化一下方程就行了。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define rep(i,x) for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long LL;
typedef double DB;
using namespace std;
inline int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') f=(ch=='-')?-1:f,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+(ch-'0'),ch=getchar();return f*x;
}
const int N=5e4+10;
struct node {
    int x,y;
    bool operator <(const node &b)const {return x==b.x?y<b.y:x<b.x;}
} a[N];
LL x[N],y[N],f[N];
int n,tot,q[N];
DB slop(int a,int b) {return (DB)(f[b]-f[a])/(y[a+1]-y[b+1]);}
int main() {
    n=read();
    for(int i=1; i<=n; i++) a[i].x=read(),a[i].y=read();
    sort(a+1,a+n+1);
    fo(i,1,n) {
        for(;tot&&a[i].y>=y[tot];tot--);
        x[++tot]=a[i].x,y[tot]=a[i].y;
    }
    int l=0,r=0;
    fo(i,1,tot) {
        for(;l<r&&slop(q[l],q[l+1])<x[i];l++);
        f[i]=f[q[l]]+y[q[l]+1]*x[i];
        for(;l<r&&slop(q[r],i)<slop(q[r-1],q[r]);r--);
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[tot]);
    return 0;
}