莫比乌斯反演

Posted 2020-10-16 小蒟蒻yyb的博客

莫比乌斯反演

初学莫比乌斯反演
先膜一发高神：orz Gay神

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莫比乌斯反演
有两种形式。。。

第一种：

如果我们有函数\(f(x)\)，以及\(g(x)\)，并且有：
\[g(x)=\sum_{d|x}f(x)\]
那么，我们就有：
\[f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})g(x)\]

具体的证明嗷。。。
参考《具体数学》第4章（貌似是公式\(4.56\)）

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第二种：

如果我们有函数\(f(x)\)，以及\(g(x)\)，并且有：
\[g(x)=\sum_{x|d}^{n}f(x)\]
其中n是我们限定的一个范围
那么，我们可以得到：
\[f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\]

证明和上面那个其实是类似的

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至于\(\mu\)函数，叫做莫比乌斯函数
他本身的定义是：
\[\sum_{d|x}\mu(d)=[x==1]\]
说成人话就是：
\(\mu(1)=1\)，而往后面的所有\(\mu(x)\) \((x>1)\)
都有
\[\mu(x)=-\sum_{d|x且d≠x}\mu(d)\]

还是看不懂吧。。（我也不懂。。）
还是写个简单点的形式。。。

这种是一种讨论的形式
①\(x=p_1p_2p_3...p_n\) 此时\(\mu(x)=(-1)^n\)
②\(x=p^2·d\) 此时\(\mu(x)=0\)
③\(x=1\) \(\mu(x)=1\)

剩下的，就是怎么运用的问题啦。。。